রুলেট মানক বিচ্যুতি
রুলেটের মানক বিচ্যুতি, বিচ্যুতিরগণিতবিচ্যুতিপ্রত্যাশিত মানের চারপাশে ফল কত বিস্তৃতভাবে ছড়ায় তার মাপ। একক-সংখ্যা বাজিতে বেশি, সমান-অর্থের বাজিতে কম।সম্পূর্ণ পড়ুন → বর্গমূল, ফল ও তার প্রত্যাশার মধ্যে সাধারণ দূরত্ব।
প্রতি $1 বাজিতে একক-সংখ্যা বাজির জন্য σ 5.84 এবং লালের জন্য 1.00। একটি সেশনের জন্য বাজির অঙ্ক ও স্পিন সংখ্যার বর্গমূল দিয়ে গুণ করুন।
সহজ নিয়ম
প্রায় দুই-তৃতীয়াংশ সেশন প্রত্যাশার এক σ-এর মধ্যে এবং 95% দুই মানক বিচ্যুতির মধ্যে থাকে। $10 করে 100টি লালবাজিলাল18টি লাল সংখ্যার সমান-অর্থের বাজি। ফরাসি: rouge।সম্পূর্ণ পড়ুন → স্পিনে (প্রত্যাশিত −$27, σ = $100) অধিকাংশ সেশন −$127 থেকে +$73-এর মধ্যে পড়ে, আর প্রায় সব −$227 থেকে +$173-এর মধ্যে। ওই সীমার বাইরের ফল কোনো কিছুর প্রমাণ নয়, শুধু প্রতি বিশ সেশনের একটিতে এমন হয়।
কেন √N
প্রত্যাশিত ক্ষতিগণিতপ্রত্যাশিত ক্ষতিপ্রত্যাশিত মানকে মোট বাজির অঙ্ক দিয়ে গুণ; একটি সেশন বা সময়ে গড়ে হারানো অঙ্ক।সম্পূর্ণ পড়ুন → N-এর সমানুপাতে বাড়ে; বিস্তার √N-এর সমানুপাতে বাড়ে। ছোট N-এ বিস্তার প্রাধান্য পায় এবং সেশন সামান্য একপেশে মুদ্রা ছোড়ার মতো। বড় N-এ ক্ষতি বিস্তারকে ছাড়িয়ে যায়। যেখানে প্রত্যাশিত ক্ষতি এক মানক বিচ্যুতিরগণিতমানক বিচ্যুতিবিচ্যুতির বর্গমূল; প্রত্যাশিত মান থেকে ফলের সাধারণ দূরত্ব।সম্পূর্ণ পড়ুন → সমান হয়, সেই ছেদবিন্দু সমান-অর্থের বাজির জন্য N = (σ/edge)² = (1/0.027)² ≈ 1,370 স্পিন এবং একক-সংখ্যা বাজিরবাজিএকক-সংখ্যা বাজিএকটি মাত্র সংখ্যা, প্রদান 35:1।সম্পূর্ণ পড়ুন → জন্য (5.84/0.027)² ≈ 46,800। এই সংখ্যাগুলোর নিচে দৈব সিদ্ধান্ত নেয়; ওপরে এজ নেয়।
এর ব্যবহার
সেশন অস্বাভাবিক ছিল কি না বিচার করতে (result − EV)/σ হিসাব করুন। $10 করে লালে বাজি ধরা কেউ 100 স্পিন শেষে +$150-এ থাকলে তিনি (150 + 27)/100 = 1.77σ-এ, অর্থাৎ 25-এ একবারের ফলাফলে: ভাগ্যবান, অসাধারণ নন। একই +$150-এ একক-সংখ্যা বাজিধরা ব্যক্তি 0.3σ-এ: সাধারণ রাত। একই ডলারের ফল ভিন্ন বাজিতে ভিন্ন অর্থ বহন করে।
অনুপাতের মানক ত্রুটি
একই হিসাব বলে তথ্যতে এজ দেখতে কত স্পিন লাগে। পর্যবেক্ষিত জয়ের অনুপাতের মানক ত্রুটি √(p(1 − p)/N)। N = 1,000 হলে লালের জন্য: √(0.4865 × 0.5135 / 1000) ≈ 1.6%। ন্যায্য মুদ্রা ও লালের ফারাক 1.35%, তাই 1,000 স্পিনের পরও আত্মবিশ্বাসের সঙ্গে তাদের আলাদা করা যায় না। 10,000-এর পর মানক ত্রুটি 0.5%, তখন যায়। এ কারণেই চাকা-পক্ষপাত শনাক্তে এত স্পিন লাগে।
বাঁক নিয়ে সতর্কতা
ছোট সেশনে একক-সংখ্যা বাজির ফল স্বাভাবিক বণ্টন থেকে অনেক দূরে: অধিকাংশ সেশন প্রতি স্পিনে স্থির −$10, মাঝে মাঝে +$350 লাফসহ। ±1σ নিয়ম বিস্তার সঠিকভাবে বর্ণনা করে, কিন্তু N শতকে না পৌঁছানো পর্যন্ত আকারটি খারাপভাবে বর্ণনা করে। সমান-অর্থের বাজিরবাজিসমান-অর্থের বাজিলাল/কালো, বিজোড়/জোড়, উঁচু/নিচু। 18টি সংখ্যা, প্রদান 1:1।সম্পূর্ণ পড়ুন → জন্য প্রায় 30 স্পিন থেকেই স্বাভাবিক অনুমান ভালো।
সূত্র
প্রশ্ন
এটি প্রমাণ করে যে আপনি প্রায় 40টি সেশন খেলেছেন, অথবা চল্লিশটির মধ্যে ভাগ্যবানটিতে ছিলেন। আবার করুন।
ওঠানামা ক্রমেই কমে: গড়ের মানক ত্রুটি σ/√N। N = 10,000 হলে তা বাজির অঙ্কের 1%।
গণিতের মজা
আগে এগুলো নিজে করে দেখুন। প্রতিটি সমাধান ভাঁজ করা আছে; প্রস্তুত হলে খুলুন।
ইউরোপীয় চাকায় 100 স্পিনে লালেবাজিলাল18টি লাল সংখ্যার সমান-অর্থের বাজি। ফরাসি: rouge।সম্পূর্ণ পড়ুন → এক ইউনিটঅর্থইউনিটএকটি সিস্টেম বা খেলোয়াড় যে মূল বাজির অঙ্কে কাজ করেন। প্রগ্রেশন ইউনিটে বর্ণিত হয় যাতে যেকোনো টেবিলে চলে।সম্পূর্ণ পড়ুন → 51 বা তার বেশি জয়ে এগিয়ে থাকে, আর এক একক-সংখ্যা বাজিবাজিএকক-সংখ্যা বাজিএকটি মাত্র সংখ্যা, প্রদান 35:1।সম্পূর্ণ পড়ুন →তে সেই সংখ্যা অন্তত 3 বার লাগলে এগিয়ে থাকে। বেল কার্ভ দিয়ে উভয় সম্ভাবনা অনুমান করুন, তারপর সঠিক উত্তরের সঙ্গে তুলনা করুন।
সমাধান দেখুন
উত্তর লাল: বেল কার্ভ 35.6% দেয় এবং সঠিক উত্তর 35.5%। একক-সংখ্যা বাজি: বেল কার্ভ 55.0% দেয় এবং সঠিক উত্তর 50.9%। শর্টকাটটি লালের জন্য কাজ করে, একক সংখ্যায় ভুল করে।
লাল: 100 × 18/37 = 48.6 গড় জয়, এবং বিস্তার √(100 × 18/37 × 19/37) = 5.0। এগিয়ে থাকা মানে 51 বা বেশি; মাঝের বিন্দু 50.5 গড়ের 0.37 বিস্তার উপরে, আর বেল কার্ভ তার ওপরে 35.6% রাখে। 51, 52 … 100 জয়ের সঠিক সম্ভাবনা যোগ করলে 35.5%।
একক-সংখ্যা বাজি: 100/37 = 2.70 গড় আঘাত, আর বিস্তার √(100 × 1/37 × 36/37) = 1.62। তিন বা বেশি আঘাত মানে 2.5-এর উপরে, গড়ের 0.12 বিস্তার নিচে: বেল কার্ভে 55.0%। সঠিকভাবে, 0, 1 ও 2 আঘাতের সম্ভাবনা 6.5% + 17.9% + 24.7% থেকে 1 বিয়োগ করলে 50.9%।
বেল কার্ভের গড়ের দুই পাশে যথেষ্ট ফল দরকার। 100 স্পিনের পরে লালের তা আছে; যে সংখ্যা গড়ে তিনবারের কম আসে তার নেই। কার্ভ এমনকি “কোনও আঘাত নয়”-কেও 8.7% দেয়, যেখানে সত্য সম্ভাবনা 6.5%। Taylor (2021) একইভাবে দ্বিপদী বণ্টন ও বেল কার্ভ পাশাপাশি দিয়েছেন।
কমিক বিরতি
প্রতি বিশ সেশনের একটি দুই সিগমার বাইরে থাকে। কেউ না কেউ সব সময় লেজে থাকে।
উৎস
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.