দীর্ঘমেয়াদি মিলন: রুলেটে বৃহৎ সংখ্যার সূত্র
গড় কীভাবে −2.70%-এর দিকে স্থির হয়, এবং তা স্বজ্ঞার ধারণার চেয়ে বেশি সময় নেয় কেন।
স্পিন জমতে থাকলে প্রতি স্পিনে গড় ক্ষতি −1/37-এর দিকে অভিসারী হয়; বিস্তার 1/√N-এর মতো কমে। লালে 1,000 স্পিনের পর গড় সাধারণত প্রত্যাশার ±3%-এর মধ্যে থাকে।
বৃহৎ সংখ্যার সূত্র
স্বাধীন বাজির চলমান গড় প্রত্যাশিত মানেরগণিতপ্রত্যাশিত মানদীর্ঘমেয়াদে প্রতি বাজির গড় ফল। প্রতিটি মানক ইউরোপীয় বাজিতে বাজির অঙ্কের −1/37।সম্পূর্ণ পড়ুন → দিকে যায়। এক এককঅর্থইউনিটএকটি সিস্টেম বা খেলোয়াড় যে মূল বাজির অঙ্কে কাজ করেন। প্রগ্রেশন ইউনিটে বর্ণিত হয় যাতে যেকোনো টেবিলে চলে।সম্পূর্ণ পড়ুন → করে Nটি সমান-অর্থের স্পিনের পর প্রতি স্পিনে গড় ফলের প্রত্যাশা −1/37 এবং মানক বিচ্যুতিগণিতমানক বিচ্যুতিবিচ্যুতির বর্গমূল; প্রত্যাশিত মান থেকে ফলের সাধারণ দূরত্ব।সম্পূর্ণ পড়ুন → 1/√N। N = 100-এ সেই বিস্তার বাজির অঙ্কের 10%, 2.7% সংকেতের প্রায় চার গুণ। N = 1,000-এ তা 3.2%, সংকেতের প্রায় সমান। N = 10,000-এ তা 1%, এবং সুবিধা স্পষ্ট দেখা যায়। একটি সেশনে সুবিধাটি অদৃশ্য, এক বছরে দ্ব্যর্থহীন।
কী অভিসারী হয় এবং কী হয় না
প্রতি স্পিনে গড় অভিসারী হয়। মোট হয় না: N বাড়ার সঙ্গে তা প্রত্যাশায় N-এর প্রায় 2.7% করে শূন্য থেকে আরও দূরে সরে, যার চারপাশে √N বিস্তার। $10 করে 10,000 স্পিন খেলা একজন খেলোয়াড়ের প্রত্যাশিত ক্ষতি $2,700, কমবেশি $1,000। লালেরবাজিলাল18টি লাল সংখ্যার সমান-অর্থের বাজি। ফরাসি: rouge।সম্পূর্ণ পড়ুন → চলমান অনুপাত অনেক আগেই 48.65%-এর কাছে স্থির হয়েছে; চলমান ব্যালান্স কোথাও স্থির হয়নি।
- p10 −$440
- p25 −$280
- মধ্যমা −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
স্বজ্ঞা কেন ব্যর্থ হয়
মানুষ আশা করে সুবিধা দ্রুত দেখা দেবে, কারণ 2.70% অনেক মনে হয়; এবং আশা করে দীর্ঘ ধারা “সমান হয়ে যাবে”, কারণ বৃহৎ সংখ্যার সূত্রগণিতবৃহৎ সংখ্যার সূত্রপরীক্ষার সংখ্যা বাড়লে স্বাধীন ফলের গড় প্রত্যাশিত মানের দিকে মিলিত হয়।সম্পূর্ণ পড়ুন → বলে গড় অভিসারী হয়। দুটি ধারণাই মাত্রা ভুল বোঝে: একটি স্পিনের বিচ্যুতিরগণিতবিচ্যুতিপ্রত্যাশিত মানের চারপাশে ফল কত বিস্তৃতভাবে ছড়ায় তার মাপ। একক-সংখ্যা বাজিতে বেশি, সমান-অর্থের বাজিতে কম।সম্পূর্ণ পড়ুন → (σ = 1 একক, EV = 0.027) তুলনায় সুবিধা ছোট, তাই এক মানক বিচ্যুতি পরিমাণে দৃশ্যমান হতে (1/0.027)² ≈ 1,400 স্পিন লাগে। আর গড়ের অভিসরণ মোটকে টেনে ফেরায় না; কেবল আগের ওঠানামাকে পাতলা করে।
অন্যান্য বাজির অভিসরণ
একক-সংখ্যা বাজিরবাজিএকক-সংখ্যা বাজিএকটি মাত্র সংখ্যা, প্রদান 35:1।সম্পূর্ণ পড়ুন → জন্য σ = 5.84, তাই একই হিসাবে সুবিধা এক মানক বিচ্যুতিতে পৌঁছাতে (5.84/0.027)² ≈ 47,000 স্পিন লাগে। একক-সংখ্যা বাজি ধরা ব্যক্তি নিজের নথিতে সুবিধাকে ভাগ্য থেকে আলাদা না করেই বছরের পর বছর খেলতে পারেন, অথচ সপ্তাহের মধ্যেই তা দেখা লাল বাজিধরার মতোই ঠিক 2.70% দেন।
পদ্ধতি পরীক্ষা করার ইঙ্গিত
কেউ কোনো পদ্ধতি কাজ করে বললে নথিভুক্ত ধনাত্মক গড়সহ 10,000 বা বেশি স্পিনে তা দেখাতে সক্ষম হওয়া উচিত। 1,000 স্পিনে সমান-অর্থের বাজিতে ধনাত্মক গড় শূন্য অনুমানের অধীনে প্রতি পাঁচে একবারের ঘটনা; 100 স্পিনে তা প্রায় মুদ্রা টস। এই সাইটের সিমুলেটর আপনার বাছা দৈর্ঘ্যের 2,000 সেশন এক সেকেন্ডে চালায়, যা যেকোনো প্রশংসাপত্রের চেয়ে বেশি প্রমাণ।
সূত্র
প্রশ্ন
খেলতে থাকলে আবার কখনও এগিয়ে থাকার সম্ভাবনাগণিতসম্ভাবনাকোনো ফলের সুযোগ, 0 থেকে 1 বা 0% থেকে 100%। একটি সংখ্যা: 1/37 = 2.70%।সম্পূর্ণ পড়ুন → শূন্যের দিকে নামে। মোট সীমাহীনভাবে নিচে সরে।
না। এর অর্থ অতীতের ওঠানামা বড় নমুনার ছোট অংশ হয়ে যায়।
সমান অর্থে সুবিধা স্পষ্ট দেখার আগে প্রায় 10,000। একক-সংখ্যা বাজিতে প্রায় 50,000।
গণিতের মজা
আগে এগুলো নিজে করে দেখুন। প্রতিটি সমাধান ভাঁজ করা আছে; প্রস্তুত হলে খুলুন।
দুই বন্ধু একটি ন্যায্য খেলাগণিতন্যায্য খেলাযে খেলায় কোনো পক্ষের এজ নেই: প্রতিটি বাজির প্রত্যাশিত মান জিরো।সম্পূর্ণ পড়ুন →র 20 রাউন্ড খেলে—কয়েন টস, অথবা শূন্যচাকাজিরোএকক সবুজ খোপ, যা কোনো সমান-অর্থের, ডজন বা কলাম বাজি ঢাকে না; হাউস এজের উৎস। একক জিরো, 0-ও বলা হয়।সম্পূর্ণ পড়ুন → ফেরত দিয়ে লালবাজিলাল18টি লাল সংখ্যার সমান-অর্থের বাজি। ফরাসি: rouge।সম্পূর্ণ পড়ুন → বনাম কালোবাজিকালো18টি কালো সংখ্যার সমান-অর্থের বাজি। ফরাসি: noir।সম্পূর্ণ পড়ুন →—এবং চলমান স্কোর রাখে। যে রাউন্ডে প্রত্যেকে এগিয়ে থাকে তা গুনুন (সমান হলে ঠিক আগে যে এগিয়ে ছিল তার হিসাবে ধরা হবে)। কোনটি বেশি সম্ভাব্য: এগিয়ে থাকা 10 রাউন্ড করে 10 রাউন্ডে ভাগাভাগি হওয়া, নাকি একজনের সব 20 রাউন্ডে এগিয়ে থাকা?
সমাধান দেখুন
উত্তর একজনের সব 20 রাউন্ডে এগিয়ে থাকা অনেক বেশি সম্ভাব্য: দুই বন্ধুর যেকোনো একজন ধরলে 35.2%, আর সমান 10 থেকে 10 মাত্র 6.1%।
ন্যায্য চলমান স্কোর 2k রাউন্ডে সমান থাকার সম্ভাবনা u = C(2k, k)/2²ᵏ: 10 রাউন্ডের পরে 0.246 এবং 20 রাউন্ডের পরে 0.176। আর্ক-সাইন সূত্র নামের একটি ধ্রুপদি ফল বলে, 2n রাউন্ডের ঠিক 2k রাউন্ডে এক নির্দিষ্ট বন্ধু এগিয়ে থাকার সম্ভাবনা u(2k) × u(2n − 2k)।
সব 20 রাউন্ডে এগিয়ে: প্রতিটি বন্ধুর জন্য u(20) × u(0) = 0.176, দুই জনের যেকোনো একজনের জন্য 35.2%। সমান ভাগ: u(10) × u(10) = 0.246² = 6.1%, সব ভাগের মধ্যে সবচেয়ে কম সম্ভাব্য।
তাই ন্যায্য খেলায় এগিয়ে থাকা সচরাচর হাতবদল হয় না। সারাসন্ধ্যা এগিয়ে বা সারাসন্ধ্যা পিছিয়ে থাকা খেলোয়াড় অস্বাভাবিক কিছু দেখেননি; এটি চাকা বা দক্ষতা সম্পর্কে কিছু বলে না। Epstein (2013) দীর্ঘ খেলার একই নিয়ম দিয়েছেন: অর্ধেক সময়ে ভাগ্যবান দিকটি খেলার 85%-এর বেশি সময় এগিয়ে থাকে।
কমিক বিরতি
গড় অভিসারী হয়। মোটটি শুধু সরে যায়।
উৎস
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.