ধ্বংসের ঝুঁকি
লক্ষ্যে পৌঁছানোর আগে আপনার পুরো তহবিল হারানোর সম্ভাবনা।
সমান-অর্থের বাজিতে সর্বস্ব হারানোর ঝুঁকি জুয়াড়ির সর্বস্বহারের সূত্র মেনে চলে। $500 তহবিল, $10 বাজি ও $600 লক্ষ্য হলে আপনি প্রায় 57% বার লক্ষ্যে পৌঁছান এবং বাকি বার সর্বস্ব হারান।
প্রশ্নটি
আপনার তহবিলঅর্থতহবিলখেলার জন্য আলাদা রাখা মোট অর্থ। তহবিল ব্যবস্থাপনা হলো প্রতি বাজি ও প্রতি সেশনে তার কতটা ঝুঁকিতে রাখবেন তা ঠিক করা।সম্পূর্ণ পড়ুন → a ইউনিটঅর্থইউনিটএকটি সিস্টেম বা খেলোয়াড় যে মূল বাজির অঙ্কে কাজ করেন। প্রগ্রেশন ইউনিটে বর্ণিত হয় যাতে যেকোনো টেবিলে চলে।সম্পূর্ণ পড়ুন → এবং আপনি জয়ের সম্ভাবনাগণিতসম্ভাবনাকোনো ফলের সুযোগ, 0 থেকে 1 বা 0% থেকে 100%। একটি সংখ্যা: 1/37 = 2.70%।সম্পূর্ণ পড়ুন → p = 18/37 ও হারের সম্ভাবনা q = 19/37-সহ সমান-অর্থের বাজিতেবাজিসমান-অর্থের বাজিলাল/কালো, বিজোড়/জোড়, উঁচু/নিচু। 18টি সংখ্যা, প্রদান 1:1।সম্পূর্ণ পড়ুন → একবারে এক ইউনিট বাজি ধরে a + b ইউনিটে পৌঁছাতে চান। শূন্যে পৌঁছানোর আগে লক্ষ্যে পৌঁছানোর সম্ভাবনা কত? পাসকাল, ফার্মা ও হুইগেন্স 1650-এর দশকে উত্তরটি বের করেন; এটি সম্ভাবনা তত্ত্বের প্রাচীনতম ফলগুলোর একটি।
জুয়াড়ির সর্বস্বহারের সূত্র
P(reach target) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ)। সর্বস্ব হারানোর ঝুঁকিগণিতধ্বংসের ঝুঁকিলক্ষ্য বা নির্ধারিত স্পিনে পৌঁছার আগে পুরো তহবিল হারানোর সম্ভাবনা।সম্পূর্ণ পড়ুন → এটি থেকে এক বিয়োগ। q/p = 19/18 ≈ 1.0556 হলে ইউনিটের সংখ্যায় অনুপাতটি সূচকীয়ভাবে বাড়ে, তাই সূত্রটি ছোট ইউনিটকে কঠোরভাবে শাস্তি দেয়: লক্ষ্যে পৌঁছাতে যত বেশি বাজি লাগে, পথে ততবার 2.70% টোল দিতে হয়।
এটি বোঝা
ছোট ইউনিট ক্ষতি করে। $10 বাজিতে $500 দ্বিগুণ করার চেষ্টা 6% বার সফল হয়; একবারে $500 বাজিতে 48.6% বার। সাহসী খেলা—কম সংখ্যক ও বড় বাজি—ঋণাত্মক-প্রত্যাশার খেলায় লক্ষ্য ছোঁয়ার সম্ভাবনা সর্বাধিক করে, কারণ এতে এজ প্রয়োগ হওয়ার সংখ্যা ন্যূনতম হয়। এতে আপনার ফলের বিচ্যুতিওগণিতবিচ্যুতিপ্রত্যাশিত মানের চারপাশে ফল কত বিস্তৃতভাবে ছড়ায় তার মাপ। একক-সংখ্যা বাজিতে বেশি, সমান-অর্থের বাজিতে কম।সম্পূর্ণ পড়ুন → সর্বাধিক হয় এবং সন্ধ্যা দ্রুত শেষ হয়। উপপাদ্যটির নাম “সাহসী খেলা সর্বোত্তম”; ডাবিনস ও স্যাভেজ 1965 সালে এটি প্রমাণ করেন।
সমস্যাটির শুরু
প্রশ্নটি রুলেটের চেয়েও পুরোনো। 1656 সালে পাসকাল ফার্মাকে একটি ধাঁধা দেন: দুই খেলোয়াড় তিনটি পাশা ছোড়েন, প্রত্যেকের শুরুতে 12টি কাউন্টার; 11 এলে একটি কাউন্টার একদিকে সরে, 14 এলে অন্যদিকে। দুজনেই সমাধান করেন, আর গণিতবিদ পিয়ের দ্য কারকাভির চিঠিতে বিষয়টি জানা হুইগেন্স 1657 সালে সম্ভাবনা বিষয়ে প্রথম বইয়ের পঞ্চম সমস্যা হিসেবে উত্তরসহ, প্রমাণ ছাড়া, এটি ছাপান। এগারো 27ভাবে এবং চৌদ্দ মাত্র 15ভাবে আসতে পারে, তাই প্রতি কাউন্টার 14 বারে 9 বার প্রথম খেলোয়াড়ের দিকে সরে, আর উপরের সূত্রে প্রত্যেকের 12টি কাউন্টার হলে তাঁর সব জেতার সম্ভাবনা সব হারানোর চেয়ে প্রায় 1,157 গুণ। 2.70% এজ অনেক ছোট, কিন্তু একই সূত্র দেখায় বহু বাজিতে তা কী করে।
একটি বাস্তব সাহসী বাজি
2004 সালের এপ্রিলে তরুণ ইংরেজ অ্যাশলি রেভেল তাঁর পোশাকসহ প্রায় সবকিছু বিক্রি করে $1,35,300 নিয়ে লাস ভেগাসের প্লাজায় যান। কয়েকটি ছোট বাজির পর তিনি পুরো অঙ্কটি একবার লালবাজিলাল18টি লাল সংখ্যার সমান-অর্থের বাজি। ফরাসি: rouge।সম্পূর্ণ পড়ুন →-এ রাখেন। বলসরঞ্জামবলরোটরের বিপরীত দিকে পথে ছোড়া ছোট বল। আধুনিক বল আইভোরিন বা টেফলন-এর, 18–21 mm।সম্পূর্ণ পড়ুন → লাল 7-এ পড়ে এবং তিনি $2,70,600 নিয়ে বেরিয়ে যান। দুই-শূন্যচাকাজিরোএকক সবুজ খোপ, যা কোনো সমান-অর্থের, ডজন বা কলাম বাজি ঢাকে না; হাউস এজের উৎস। একক জিরো, 0-ও বলা হয়।সম্পূর্ণ পড়ুন → চাকায় ওই এক স্পিনের সম্ভাবনা ছিল 47.37% এবং এক বাজিতে 5.26% এজ অনুযায়ী গড়ে তাঁর খরচ ছিল $7,121। $10 বাজিতে ছড়িয়ে দিলে একই লক্ষ্য প্রায় আশাহীন হতো। সাহসী খেলা বাজিকে ভালো করে না; যতটা সম্ভব সংক্ষিপ্ত করে।
লক্ষ্য ছাড়া সর্বস্ব হারানোর ঝুঁকি
আপনি শুধু সর্বস্ব হারানো পর্যন্ত খেললে বা N স্পিনের পর থামলে প্রশ্নটি হয়, “N স্পিনের মধ্যে আমার তহবিল শূন্যে নামার সম্ভাবনা কত?” সাধারণ N-এর জন্য বন্ধ সূত্র নেই, তবে এই সাইটের সিমুলেটর তা হিসাব করে: লালে $10 করে $500 তহবিল 100 স্পিনে প্রায় কখনও শেষ হয় না (1%-এর নিচে), 500 স্পিনে প্রায় 9% বার শেষ হয়, আর 5,000-এ প্রায় 95% বার। থামার নিয়ম না থাকলে সম্ভাবনা 100%-এর দিকে যায়, যা হাউস এজেরগণিতহাউস এজপ্রতি বাজির অঙ্কের যে অংশ ক্যাসিনো গড়ে রাখে: ইউরোপীয় রুলেটে 2.70%।সম্পূর্ণ পড়ুন → দীর্ঘমেয়াদি রূপ।
- p10 −$500
- p25 −$500
- মধ্যমা −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
কতক্ষণ, এবং কতটা এগিয়ে
আরও দুটি ধ্রুপদি ফল খেলোয়াড়দের আসল প্রশ্নের উত্তর দেয়। লক্ষ্য না থাকলে ইউরোপীয় চাকায় স্থির সমান-অর্থের বাজি তহবিলের প্রতি ইউনিটে গড়ে 37 স্পিন এবং আমেরিকান চাকায় 19 স্পিন টেকে, কারণ প্রতি স্পিনে গড়ে 1/37 ইউনিট (আমেরিকান চাকায় 1/19) নেয়: 100 ইউনিট গড়ে 3,700 স্পিন টেকে, যদিও এমন সেশনের অর্ধেক 3,134 স্পিনের মধ্যে শেষ হয় (সেশন দৈর্ঘ্য ও খরচ দেখুন)। আর তহবিল যত বড়ই হোক, ইউরোপীয় চাকায় কোনো সময় k ইউনিট এগিয়ে যাওয়ার সম্ভাবনা (18/19)ᵏ। এক ইউনিটে তা 95% এবং দশ ইউনিটে 58%, কিন্তু তহবিল যত গভীরই হোক, 13 ইউনিট এগিয়ে যাওয়ার অর্ধেক সম্ভাবনাও দেয় না; আমেরিকান চাকায় সম্ভাবনা (9/10)ᵏ এবং 7 ইউনিটে অর্ধেকের নিচে নামে।
অর্ধেক-অর্ধেক সম্ভাবনার জন্য তহবিল
প্রশ্নটি উল্টে দিন: সব হারানোর আগে নির্দিষ্ট অঙ্ক জেতার অন্তত অর্ধেক-অর্ধেক সম্ভাবনা পেতে কত আনতে হবে? ছোট জয়ের জন্য বেশি নয়। বড় জয়ের জন্য প্রয়োজনীয় তহবিল দ্রুত বাড়ে, আর এক পর্যায়ের পর কোনো তহবিলই যথেষ্ট নয়, কারণ অন্তহীন তহবিলও ততটা এগিয়ে যাওয়ার অর্ধেক-অর্ধেক সম্ভাবনা দেয় না। টেলর (2021) অন্যভাবে বলেন: আমেরিকান চাকায় 100 ইউনিটে পৌঁছানোর অর্ধেক-অর্ধেক সম্ভাবনা পেতে 94 দিয়ে শুরু করতে হবে, 6 জিততে 94 ঝুঁকিতে রেখে। ইউরোপীয় চাকায় লাগবে 88।
বাস্তব শিক্ষা
আপনি কী করতে চাইছেন তা ঠিক করুন। লক্ষ্য যদি নির্দিষ্ট জয় হয়, কম বার বড় বাজি ধরুন। লক্ষ্য যদি দীর্ঘ সন্ধ্যা হয়, ছোট বাজি ধরুন এবং মেনে নিন যে এজ বড় মোট বাজির অঙ্কেরঅর্থমোট বাজির অঙ্কসেশন বা সময়ে মোট বাজি, আবার বাজি ধরা জয়ও গোনা হয়। হ্যান্ডল বা অ্যাকশনও বলা হয়।সম্পূর্ণ পড়ুন → 2.70% নেবে। লক্ষ্য দুটিই হলে কিছু ছাড় দিতে হবে, আর সেটি সাধারণত লক্ষ্যই।
সূত্র
প্রশ্ন
মার্টিঙ্গেলকৌশলমার্টিঙ্গেলপ্রতিটি হারের পরে বাজি দ্বিগুণ করে এমন প্রগ্রেশন। এটি কী করে ও কী করে না, কৌশল বিভাগ দেখুন।সম্পূর্ণ পড়ুন → ছোট সেশনে এটি কমায় এবং দীর্ঘ সেশনে নাটকীয়ভাবে বাড়ায়। বড় ইউনিটে স্থির-অঙ্কের বাজিকৌশলস্থির-অঙ্কের বাজিপ্রতি স্পিনে একই অঙ্কের বাজি ধরা। প্রতিটি প্রগ্রেশনের তুলনার ভিত্তি।সম্পূর্ণ পড়ুন → ধরা এটি কমানোর সৎ উপায়।
উপরের সূত্র সমান-অর্থের বাজির জন্য। উচ্চ-বিচ্যুতির বাজিতে ছোট বাজির অঙ্কে দেউলিয়া হওয়ার সম্ভাবনা বেশি এবং লক্ষ্য অসমান ধাপে পৌঁছায়; ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন।
লক্ষ্যের দিকে প্রতিটি ধাপ দেউলিয়ার দিকে প্রতিটি ধাপের চেয়ে সামান্য কম সম্ভাব্য; ধাপের সংখ্যাজুড়ে অনুপাতটি চক্রবৃদ্ধি হয়।
গণিতের মজা
আগে এগুলো নিজে করে দেখুন। প্রতিটি সমাধান ভাঁজ করা আছে; প্রস্তুত হলে খুলুন।
আপনার $100 আছে এবং শুধু লালেবাজিলাল18টি লাল সংখ্যার সমান-অর্থের বাজি। ফরাসি: rouge।সম্পূর্ণ পড়ুন → বাজি রেখে $1,000 করতে চান। পরিকল্পনা এক: প্রতি বার $1 করে বাজি। পরিকল্পনা দুই: $500 পার হওয়া পর্যন্ত যা আছে সব বাজি, তারপর $1,000 পৌঁছাতে যতটুকু দরকার। কোন পরিকল্পনা ভালো, এবং কতটা?
সমাধান দেখুন
উত্তর দ্বিতীয় পরিকল্পনা, অনেক ব্যবধানে। এটি প্রায় 9.0% সময়ে $1,000 পৌঁছায়, ন্যায্য 10%-এর কাছাকাছি। প্রথম পরিকল্পনা 10²²-এ প্রায় 7 বার সফল হয়।
একটি ন্যায্য খেলাগণিতন্যায্য খেলাযে খেলায় কোনো পক্ষের এজ নেই: প্রতিটি বাজির প্রত্যাশিত মান জিরো।সম্পূর্ণ পড়ুন →য় আপনি যা-ই করুন, $100 থেকে $1,000-এ পৌঁছাতেন দশবারে একবার, কারণ আপনার অর্থের গড় মূল্য $100-ই থাকে।
এজ প্রতিটি বাজির 2.70% নেয়; তাই মোট যত কম বাজি ধরবেন, দশবারে একের তত কাছে থাকবেন। দ্বিতীয় পরিকল্পনা মুঠো কয়েক বাজিতে ব্যাপারটি নির্ধারণ করে: $100 হয় $200, $400, $800, তারপর $200-ই যথেষ্ট। এটি প্রায় 9.0% সময়ে সফল হয়। প্রথম পরিকল্পনায় পথ শেষ হওয়ার আগে হাজার হাজার বাজি লাগে, এবং প্রতিটিতে সামান্য এজ যোগ হয়ে প্রায় নিশ্চিত সর্বনাশ হয়।
এটি Dubins–Savage ফলের সবচেয়ে সরল রূপ (Epstein, 2013): হাউসের অনুকূলে খেলায় যতটুকু প্রয়োজন তত বাজি ধরুন, যত কমবার সম্ভব।
আপনার $500 আছে এবং $1,000 হলে থামবেন। এক ধরনের বাজি বেছে নিয়ে সেটি একবার জেতা বা অর্থ শেষ হওয়া পর্যন্ত পুনরাবৃত্তি করেন। কোন ধরনের বাজি সবচেয়ে ভালো সম্ভাবনা দেয়?
সমাধান দেখুন
উত্তর লালে একটি $500 বাজি: 48.6%। অর্থকে ছোট বাজিতে ছড়ানো প্রতিটি পরিকল্পনা এর চেয়ে খারাপ।
প্রতিটি বাজির অঙ্ক এমন নিন যাতে একবার জয় যথেষ্ট: একক-সংখ্যা বাজিবাজিএকক-সংখ্যা বাজিএকটি মাত্র সংখ্যা, প্রদান 35:1।সম্পূর্ণ পড়ুন →তে $30 জিতে $1,050, জোড়া বাজিবাজিজোড়া বাজিলাগোয়া দুটি সংখ্যা, প্রদান 17:1।সম্পূর্ণ পড়ুন →তে $60 জিতে $1,020, ইত্যাদি। তারপর অর্থ শেষ হওয়ার আগে অন্তত একটি বাজি জেতার সম্ভাবনা গুনুন। ষোলোটি $30 একক-সংখ্যা বাজি সব হারার সম্ভাবনা (36/37)¹⁶ = 64.5%, তাই তারা 35.5% সময়ে $1,000 পৌঁছায়।
সারণিটি প্রতিটি বাজি দেখায়। লাল সেরা, কারণ এক বাজিতেই পৌঁছায়—তাই এজ একবার, $500-এ, দেওয়া হয়। ছয়-সংখ্যার সারি বাজিবাজিছয়-সংখ্যার সারি বাজিদুটি লাগোয়া সারির ছয় সংখ্যা, প্রদান 5:1। ফরাসি: sixain।সম্পূর্ণ পড়ুন → দ্বিতীয়, কারণ মাত্র তিনটি লাগে। একটি ডজনবাজিডজন বাজি1–12, 13–24 অথবা 25–36; প্রদান 2:1।সম্পূর্ণ পড়ুন → বাজি সবচেয়ে খারাপ, 12/37 সুযোগ; এমনকি $250 ইউনিটেঅর্থইউনিটএকটি সিস্টেম বা খেলোয়াড় যে মূল বাজির অঙ্কে কাজ করেন। প্রগ্রেশন ইউনিটে বর্ণিত হয় যাতে যেকোনো টেবিলে চলে।সম্পূর্ণ পড়ুন → $1,000 বা তার বেশি হওয়া পর্যন্ত খেললেও ডজন মাত্র 46.4% সময়ে পৌঁছায়।
Bollman (2024) আমেরিকান চাকায় একই সারণি তৈরি করেছেন। তাঁর ডজন সারিতে ভুল আছে: 12/38 = 31.6% হওয়া উচিত।
বাজিবাজির অঙ্ক × বাজির সংখ্যা$1,000 পৌঁছানোর সম্ভাবনাএকক-সংখ্যা বাজি$30 × 1635.5%জোড়া বাজি$60 × 835.9%সারি বাজি$90 × 534.5%কোণ বাজি$125 × 436.7%ছয়-সংখ্যার সারি বাজি$166, $166, $16841.2%ডজন বাজি$500 × 132.4%লাল$500 × 148.6%আপনি লালে এক ইউনিট করে, স্পিনের পর স্পিন বাজি রাখেন; এমন তহবিলঅর্থতহবিলখেলার জন্য আলাদা রাখা মোট অর্থ। তহবিল ব্যবস্থাপনা হলো প্রতি বাজি ও প্রতি সেশনে তার কতটা ঝুঁকিতে রাখবেন তা ঠিক করা।সম্পূর্ণ পড়ুন → আছে যা কখনও শেষ হয় না। প্রথম স্পিনের পরে আপনি এক ইউনিট এগিয়ে বা এক ইউনিট পিছিয়ে। আবার কখনও ঠিক সমতায় ফেরার সম্ভাবনা কত?
সমাধান দেখুন
উত্তর 37টির মধ্যে 36, 97.3%। আমেরিকান চাকায় 38টির মধ্যে 36, 94.7%।
প্রথম স্পিন জিতলে (37টির মধ্যে 18 বার), আপনি এক ইউনিট এগিয়ে, এবং এজ প্রতিটি অসীম সেশনকে নিচে টানে; তাই দেরিতে হোক, সমতার মধ্য দিয়ে আবার নামা নিশ্চিত। প্রথম স্পিন হারলে (37টির মধ্যে 19 বার), আপনাকে এক ইউনিট উঠতে হয়, এবং কখনও এক ইউনিট এগিয়ে যাওয়ার সম্ভাবনা 18/19 (উপরের সারণি দেখুন)।
একত্রে: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37।
সাধারণভাবে সম্ভাবনাটি হলো একটি স্পিনে জেতা ও হারার সম্ভাবনার ব্যবধানটি 1 থেকে বিয়োগ করলে যা থাকে: ইউরোপীয় চাকায় 1 − 1/37, আমেরিকানটিতে 1 − 2/38। শূন্যচাকাজিরোএকক সবুজ খোপ, যা কোনো সমান-অর্থের, ডজন বা কলাম বাজি ঢাকে না; হাউস এজের উৎস। একক জিরো, 0-ও বলা হয়।সম্পূর্ণ পড়ুন →বিহীন খেলায় ব্যবধান নেই এবং সম্ভাবনা 1: স্কোর সব সময় সমতায় ফেরে। Epstein (2013) সাধারণ নিয়মটি দিয়েছেন।
Pascal-এর 1656 সালের ধাঁধা: দুই খেলোয়াড় তিনটি পাশা ছোড়ে, প্রত্যেকের শুরুতে 12টি কাউন্টার। প্রতি 11-এ একটি কাউন্টার প্রথম খেলোয়াড়ের দিকে যায়, প্রতি 14-এ একটি দ্বিতীয়জনের দিকে; অন্য ফল গণ্য নয়। প্রথম খেলোয়াড়ের 24টিই জেতার সম্ভাবনা কত? আর আপনি যদি বন্ধুর বিপক্ষে, যিনি ব্যাংকের কাজ করেন, প্রতি স্পিনে লালে 1 ইউনিট বাজি রাখেন এবং দুজনেরই 12 ইউনিট থাকে, আপনার 24 ইউনিট জেতার সম্ভাবনা কত?
সমাধান দেখুন
উত্তর প্রথম খেলোয়াড় 1,158-তে প্রায় 1,157 বার জেতেন। আপনি লালে 24 ইউনিট জেতেন মাত্র প্রায় 34% সময়ে।
তিন পাশায় 11 হয় 27 উপায়ে এবং 14 হয় 15 উপায়ে; তাই সরা প্রতিটি কাউন্টার 42 বারে 27 বার প্রথম খেলোয়াড়ের কাছে যায়, 14 বারে 9 বার। উভয়ের শুরু 12 হওয়ায় সবকিছু নেওয়ার সম্ভাবনা 1/(1 + r¹²), যেখানে r হলো অন্য পক্ষের সম্ভাবনা ও আপনার সম্ভাবনার অনুপাত।
প্রথম খেলোয়াড়ের জন্য r = 5/9, এবং (5/9)¹² ≈ 0.00086; তাই সম্ভাবনা প্রায় 0.99914: 9¹² to 5¹² অডস, অথবা 2,82,42,95,36,481 to 24,41,40,625, প্রায় 1,157 to 1। Huygens 1657-এ ঠিক এই সংখ্যাগুলো ছেপেছিলেন।
লালে r = 19/18, শূন্যের কারণে; এবং (19/18)¹² ≈ 1.913: আপনার সম্ভাবনা 1/2.913 ≈ 34.3%। কয়েনে 50%। প্রতিটি বাজির 2.70% এজ বহু বাজিতে জমে 16-পয়েন্ট ফাঁক তৈরি করে।
কমিক বিরতি
সাহসী খেলা সর্বোত্তম। এটিও দ্রুত শেষ হয়।
উৎস
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. হুইগেন্স-কে চিঠি, 28 সেপ্টেম্বর 1656; পাসকাল ফার্মার কাছে যে সমস্যাটি উত্থাপন করেছিলেন, সে বিষয়ে।
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”