রুলেটে ধারাবাহিকতার সম্ভাবনা
এক রঙের দীর্ঘ ধারা সাধারণ। পরের স্পিনের জন্য এগুলোর কোনো অর্থও নেই।
টানা পাঁচটি লাল: 2.7%। দশটি: 0.074%। 200-স্পিনের সেশনে এক রঙের ছয়টির ধারা না আসার চেয়ে আসার সম্ভাবনাই বেশি।
টানা হার কত ঘন ঘন আসে
একক-শূন্য চাকায় সমান-অর্থের বাজি 37 স্পিনে 19 বার হারে। প্রতিটি সারি দেখায় নির্দিষ্ট একটি স্পিন-ধারা সবগুলো হারার সম্ভাবনা এবং প্রতিটি হারের পর বাজি দ্বিগুণ করা মার্টিঙ্গেল খেলোয়াড় ততক্ষণে কত হারিয়েছেন।
| টানা হার | সম্ভাবনা | প্রায় 1-এ | এ পর্যন্ত ক্ষতি | পরের বাজি |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
সম্ভাবনাটি 19/37-কে প্রতিটি হারের জন্য নিজের সঙ্গে গুণ করে পাওয়া হয়, একটি নির্দিষ্ট স্পিন থেকে গণনা করে। দীর্ঘ সেশনে এমন ধারা শুরু হতে পারে এমন অনেক স্পিন থাকে, তাই এক সন্ধ্যায় এটি একটি সারির ইঙ্গিতের চেয়ে অনেক বেশি সম্ভাব্য।
একটি ধারা
পরের kটি স্পিন সব লালবাজিলাল18টি লাল সংখ্যার সমান-অর্থের বাজি। ফরাসি: rouge।সম্পূর্ণ পড়ুন → হওয়ার সম্ভাবনাগণিতসম্ভাবনাকোনো ফলের সুযোগ, 0 থেকে 1 বা 0% থেকে 100%। একটি সংখ্যা: 1/37 = 2.70%।সম্পূর্ণ পড়ুন → হলো (18/37)ᵏ। দুটি: 23.7%। পাঁচটি: 2.7%। দশটি: 0.074%, প্রায় 1,350-এ 1। বিশটি: 1.8 মিলিয়ন-এ 1। মন্টে কার্লোর রেকর্ড ছাব্বিশটি: 137 মিলিয়ন-এ 1। এগুলো নির্দিষ্ট স্পিন থেকে শুরু হওয়া নির্দিষ্ট একটি ধারার সম্ভাবনা; আসলে প্রায় কেউ এই প্রশ্ন করেন না।
একটি সেশনে
মানুষ আসলে জিজ্ঞেস করেন, “আমার সেশনের কোথাও কি kটির ধারা দেখা দেবে?”, আর উত্তরটি (18/37)ᵏ-এর চেয়ে অনেক বেশি, কারণ 200-স্পিনের সেশনে ধারা শুরু হওয়ার প্রায় 200টি জায়গা থাকে। একই রঙের, লাল বা কালোবাজিকালো18টি কালো সংখ্যার সমান-অর্থের বাজি। ফরাসি: noir।সম্পূর্ণ পড়ুন →, ছয় বা তার বেশি ধারার দেখা 200-স্পিনের সেশনে প্রায় 94% বার মেলে; আট বা তার বেশি প্রায় 47%; দশ বা তার বেশি প্রায় 14%। আগে থেকে রংটির নাম বললে সম্ভাবনা কমে যথাক্রমে প্রায় 75%, 27% ও 7% হয়। সন্ধ্যায় বসা খেলোয়াড় প্রতি সন্ধ্যাতেই দীর্ঘ ধারা দেখবেন।
মার্টিঙ্গেল কেন গুরুত্ব দেয়
প্রতিটি ঋণাত্মক প্রগ্রেশন কৌশলকৌশলপ্রগ্রেশন কৌশলআগের ফলের ভিত্তিতে বাজির অঙ্ক বদলানো যেকোনো নিয়ম। ঋণাত্মক প্রগ্রেশন হারের পরে বাড়ায়, ইতিবাচক প্রগ্রেশন জয়ের পরে।সম্পূর্ণ পড়ুন → ভেঙে দেওয়ার মতো একটি ধারার দৈর্ঘ্য আছে: $500 সীমায় $10 ভিত্তি অঙ্ক থেকে ছয় হার, ফিবোনাচ্চিতেকৌশলফিবোনাচ্চি1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… ক্রম মানা প্রগ্রেশন: হারের পরে এক ধাপ সামনে, জয়ের পরে দুই ধাপ পেছনে।সম্পূর্ণ পড়ুন → দশ, ডজনবাজিডজন বাজি1–12, 13–24 অথবা 25–36; প্রদান 2:1।সম্পূর্ণ পড়ুন →-এ তিন গুণ করার ক্ষেত্রে পাঁচ। সমান-অর্থের বাজিতে ছয় হারের ধারার সম্ভাবনা প্রতি চেষ্টায় (19/37)⁶ ≈ 1.8%, আর 200-স্পিনের সেশনে হয়তো 100টি চেষ্টা থাকে, তাই ওই দৈর্ঘ্যের প্রতি পাঁচ সেশনের প্রায় চারটিতে ভাঙন আসে। রুলেটে ধারার সম্ভাবনাই কারণ যে পতন বিরল নয়।
হট ও কম ওঠা সংখ্যা
একই হিসাব একক-সংখ্যা বাজিরবাজিএকক-সংখ্যা বাজিএকটি মাত্র সংখ্যা, প্রদান 35:1।সম্পূর্ণ পড়ুন → ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। 300 স্পিনে প্রতি নম্বরের প্রত্যাশিত সংখ্যা 8.1; মানক বিচ্যুতিগণিতমানক বিচ্যুতিবিচ্যুতির বর্গমূল; প্রত্যাশিত মান থেকে ফলের সাধারণ দূরত্ব।সম্পূর্ণ পড়ুন → প্রায় 2.8। শুধু দৈবেই প্রতিবার কোনো নম্বর 15 বার এবং কোনোটি 2 বার আসবে। “হট” নম্বর দেখানো ফলাফল বোর্ড স্বাভাবিক বণ্টনের শীর্ষটাই দেখায়। একটি বেশি ওঠা সংখ্যাভ্রান্তিগরম সংখ্যাসম্প্রতি প্রত্যাশার চেয়ে বেশি বার আসা সংখ্যা। ন্যায্য চাকায় এটি কিছুই বলে না।সম্পূর্ণ পড়ুন → অর্থবহ হতে কত স্পিন লাগে, ল্যাব তা ব্যাখ্যা করে (একটি শনাক্ত চাকায় হাজার হাজার)।
স্বাধীনতাই মূল বিষয়
টানা দশটি লাল কালোকে বেশি সম্ভাব্য করে না, লালকেও নয়। দুটিরই সম্ভাবনা 18/37। ধারা দৈব ক্রমের বৈশিষ্ট্য; তাদের অনুপস্থিতিই সন্দেহজনক হতো: চারটির বেশি কোনো ধারা নেই এমন 200 স্পিনের ক্রম, বারোটির ধারা থাকা ক্রমের চেয়ে কারসাজির অনেক শক্তিশালী প্রমাণ।
সূত্র
প্রশ্ন
18 আগস্ট 1913-এ মন্টে কার্লোতে 26টি কালোর ঘটনাটি বিখ্যাত। 1943 সালে একটি আমেরিকান ক্যাসিনোতে টানা 32টি লালের খবর হয়েছিল। ক্যাসিনোতে যত স্পিন হয় তা বিবেচনায় দুটিই দৈবের সঙ্গে সঙ্গতিপূর্ণ।
দুই দিকেই এটি 18/37। আপনার পরিকল্পনা যা বলে তাতেই বাজি ধরুন, অথবা কিছুতেই নয়।
না। হাজার হাজার স্পিনে কিছু খোপসরঞ্জামখোপরোটরের 37টি নম্বরযুক্ত ঘরের একটি। খাঁজ বা কাপও বলা হয়।সম্পূর্ণ পড়ুন → বেশি বার আসার মধ্যেই পক্ষপাত দেখা যায়, এক রঙের ধারায় নয়।
গণিতের মজা
আগে এগুলো নিজে করে দেখুন। প্রতিটি সমাধান ভাঁজ করা আছে; প্রস্তুত হলে খুলুন।
ইউরোপীয় চাকায় 37টি সংখ্যার প্রতিটি অন্তত একবার আসতে গড়ে কত স্পিন লাগে?
সমাধান দেখুন
উত্তর গড়ে প্রায় 155 স্পিন; মধ্যক 147।
একটি করে নতুন সংখ্যা পাওয়ার অপেক্ষা গুনুন। প্রথম স্পিনে সবসময় একটি নতুন সংখ্যা আসে। 1টি সংখ্যা দেখার পর, 37টির মধ্যে 36টি খোপসরঞ্জামখোপরোটরের 37টি নম্বরযুক্ত ঘরের একটি। খাঁজ বা কাপও বলা হয়।সম্পূর্ণ পড়ুন → নতুন, তাই পরের নতুন সংখ্যার জন্য গড়ে 37/36 স্পিন লাগে। kটি সংখ্যা দেখার পর পরের নতুন সংখ্যার জন্য লাগে 37/(37 − k)।
অপেক্ষাগুলো যোগ করুন: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4.20 = 155.5 স্পিন।
এর বেশির ভাগই শেষের অংশে। শুধু শেষ সংখ্যাটির জন্য গড়ে 37 স্পিন লাগে, আর শেষ পাঁচটির জন্য প্রায় 85। আমেরিকান চাকায় একই যোগফল প্রায় 161 দেয়। এটি কুপন সংগ্রাহকের সমস্যা; প্রমিত গণনাতেও একই গড় পাওয়া যায়।
ইউরোপীয় চাকায় 37 স্পিনে, অর্থাৎ প্রতি খোপে এক স্পিন, কতটি ভিন্ন সংখ্যা দেখার আশা করবেন?
সমাধান দেখুন
উত্তর প্রায় 23.6। সংখ্যার প্রায় এক-তৃতীয়াংশ, প্রায় 13টি, একবারও আসে না।
একটি সংখ্যা নিন, যেমন 17। প্রতি স্পিনে তার না আসার সম্ভাবনা 36/37, তাই 37 স্পিনেই না আসার সম্ভাবনা (36/37)³⁷ ≈ 0.363।
প্রতিটি সংখ্যার সম্ভাবনা একই, তাই গড়ে 37 × 0.363 ≈ 13.4টি সংখ্যা অনুপস্থিত এবং 37 − 13.4 ≈ 23.6টি আসে; তাদের অনেকগুলো দুইবার বা তার বেশি।
রুলেট খেলোয়াড়েরা একে তৃতীয়াংশের নিয়ম বলে। এটি কোনও নিয়ম নয়, পুনরাবৃত্তির গাণিতিক ফল: চাকার সমান দীর্ঘ রানে ন্যায্য বা অন্য যেকোনো চাকায় প্রায় এক-তৃতীয়াংশ সংখ্যা বাইরে থাকে। 38 খোপে অংশটি (37/38)³⁸ ≈ 0.363-ই; বড় চাকায় তা 1/e ≈ 0.368-এর কাছে স্থির হয়।
এক বন্ধু আপনাকে 50টি রঙের দুটি তালিকা দেখালেন, লালবাজিলাল18টি লাল সংখ্যার সমান-অর্থের বাজি। ফরাসি: rouge।সম্পূর্ণ পড়ুন → বা কালোবাজিকালো18টি কালো সংখ্যার সমান-অর্থের বাজি। ফরাসি: noir।সম্পূর্ণ পড়ুন →, দুটিই শূন্যচাকাজিরোএকক সবুজ খোপ, যা কোনো সমান-অর্থের, ডজন বা কলাম বাজি ঢাকে না; হাউস এজের উৎস। একক জিরো, 0-ও বলা হয়।সম্পূর্ণ পড়ুন → বাদ দেওয়া চাকা থেকে এসেছে বলা হয়। একটিতে 25 বার রঙ বদলেছে এবং সবচেয়ে দীর্ঘ রান ছয়। অন্যটিতে 35 বার বদলেছে এবং কখনও তিনের বেশি রান হয়নি। কোনটি বানানো?
সমাধান দেখুন
উত্তর দ্বিতীয়টি। বাস্তব তালিকায় প্রায় 24 বা 25 বার বদলায়। 35 বার বদলানো প্রায় 500 তালিকায় একবার, এবং তিনের বেশি রান না হওয়া প্রায় 100-তে দুবার হয়।
প্রতিটি নতুন রঙ শেষটির পুনরাবৃত্তি করে বা বদলায়, দুইটির সম্ভাবনাই অর্ধেক; তাই বদলানোর 49টি সুযোগে গড়ে 24.5 বার বদল হয়, মোটামুটি 3.5 এদিক-ওদিক। পঁয়ত্রিশ গড়ের তিনটি এমন ধাপ ওপরে; ন্যায্য চাকা এত বদল প্রায় 500 তালিকায় একবার তৈরি করে।
রানগুলোও একই কথা বলে। 50-এর বাস্তব তালিকায় প্রায় 98% সময় চার বা তার বেশি দৈর্ঘ্যের রান থাকে, এবং সবচেয়ে দীর্ঘ রান সাধারণত পাঁচ বা ছয়।
এলোমেলো তালিকা বানাতে বলা হলে মানুষ খুব বেশি রঙ বদলায়, কারণ চার বা পাঁচের রান তাদের কাছে নকশার মতো লাগে। Taylor (2021) শিক্ষার্থীদের বানানো কয়েন টসের তালিকায় একই লক্ষণ দেখিয়েছেন: বাস্তব এলোমেলোতা মানুষ যা আশা করে তার চেয়ে বেশি ধারাবাহিক।
ক্যাসিনো-কাহিনির একটি বইতে এমন এক খেলোয়াড়ের কথা আছে যার সংখ্যা টানা পাঁচবার এসেছিল এবং তাকে রেকর্ড বলা হয়েছে। ইউরোপীয় চাকায় তা কতটা বিরল? আর 20টি টেবিলের একটি ক্যাসিনোতে, যেখানে প্রতিটি টেবিল দিনরাত ঘণ্টায় 40 বার স্পিন করে, কোথাও এমন ঘটনা কতবার হওয়া উচিত?
সমাধান দেখুন
উত্তর আগে থেকে বলা একটি সংখ্যা টানা পাঁচবার: 69 মিলিয়নের মধ্যে 1। যেকোনো সংখ্যা প্রথমবার আসার পরে আরও চারবার আসা: 1.87 মিলিয়নের মধ্যে 1। সেই ক্যাসিনো বছরে প্রায় 7 মিলিয়ন স্পিন করে, তাই বছরে পাঁচের এমন রান তিন বা চারবার দেখা উচিত।
আগে থেকে বলা সংখ্যা প্রতি স্পিনে 1/37 সম্ভাবনায় আসে, তাই টানা পাঁচবারের সম্ভাবনা (1/37)⁵ = 6,93,43,957টির মধ্যে 1। কিন্তু কেউ সংখ্যাটি আগে বলে না। প্রথমে যা-ই আসুক, পরের চার স্পিনে সেটিকেই পুনরাবৃত্তি করতে হয়: (1/37)⁴ = 18,74,161টির মধ্যে 1।
20 টেবিল × 40 স্পিন × 24 ঘণ্টা × 365 দিন = বছরে 70,08,000 স্পিন। প্রতিটি স্পিন রান শুরু করতে পারে, তাই ক্যাসিনো বছরে 70,08,000/18,74,161 ≈ 3.7টি পাঁচের রান আশা করে।
এ ধরনের কোনও সরকারি রেকর্ড নেই, প্রয়োজনও নেই: একটি টেবিলে বিরল ঘটনা ক্যাসিনো জুড়ে স্বাভাবিক, আর গল্প বলা হয় যে টেবিলে ঘটেছিল তার। Goldman (2007)-এর গল্পটি ডাবল-শূন্য চাকায়, যেখানে মানগুলো 79 মিলিয়নে 1 ও 2.09 মিলিয়নে 1।
কমিক বিরতি
দীর্ঘ ধারাই দৈবের চেহারা।
উৎস
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.