জুয়াড়ির ভ্রান্তি
কোনো ফল কিছুক্ষণ দেখা যায়নি বলে সেটি “আসার কথা”—এই বিশ্বাস।
টানা দশটি লালের পরও কালোর সম্ভাবনা 18/37। চাকা কোনো হিসাব রাখে না এবং তার কিছু পাওনা নেই।
ভ্রান্তিটি
লালবাজিলাল18টি লাল সংখ্যার সমান-অর্থের বাজি। ফরাসি: rouge।সম্পূর্ণ পড়ুন → দশবার এলে অনেক খেলোয়াড় মনে করেন কালোবাজিকালো18টি কালো সংখ্যার সমান-অর্থের বাজি। ফরাসি: noir।সম্পূর্ণ পড়ুন → “আসার কথা” এবং সে অনুযায়ী বাজি ধরেন। অন্যরা মনে করেন লাল “হট” এবং তাতেই বাজি ধরেন। দুজনেই ইতিমধ্যে শেষ হয়ে যাওয়া একটি ধারার ভিত্তিতে যে স্পিনটি এখনো হয়নি তার বিচার করছেন। বলসরঞ্জামবলরোটরের বিপরীত দিকে পথে ছোড়া ছোট বল। আধুনিক বল আইভোরিন বা টেফলন-এর, 18–21 mm।সম্পূর্ণ পড়ুন → জানে না আগের দশ স্পিনে কী হয়েছিল; খোপগুলোরসরঞ্জামখোপরোটরের 37টি নম্বরযুক্ত ঘরের একটি। খাঁজ বা কাপও বলা হয়।সম্পূর্ণ পড়ুন → আকার এক ঘণ্টা আগের মতোই; কালোর সম্ভাবনাগণিতসম্ভাবনাকোনো ফলের সুযোগ, 0 থেকে 1 বা 0% থেকে 100%। একটি সংখ্যা: 1/37 = 2.70%।সম্পূর্ণ পড়ুন → বরাবরের মতো 18/37।
কেন এটি সত্য মনে হয়
দীর্ঘ মেয়াদে লাল ও কালোর অনুপাত সত্যিই প্রত্যেকটির 18/37-এ পৌঁছায়। বৃহৎ সংখ্যার সূত্রগণিতবৃহৎ সংখ্যার সূত্রপরীক্ষার সংখ্যা বাড়লে স্বাধীন ফলের গড় প্রত্যাশিত মানের দিকে মিলিত হয়।সম্পূর্ণ পড়ুন → তা নিশ্চিত করে। কিন্তু এই অভিসরণ সংশোধনে নয়, পাতলা হয়ে যাওয়ায় ঘটে: আরও 1,000 স্পিনের পর অতিরিক্ত দশটি লাল অনুপাতে গোল করার ত্রুটি মাত্র, কালো সমান হয়ে গেছে বলে নয়, নমুনা বেড়েছে বলে। কালোকে বেশি সম্ভাব্য করার কোনো প্রক্রিয়া নেই, এবং বৃহৎ সংখ্যার সূত্রে এমন প্রক্রিয়ার দরকারও হয় না।
মন্টে কার্লো, 18 আগস্ট 1913
ক্যাসিনো দ্য মন্টে-কার্লোর একটি টেবিলে টানা 26 বার কালো এসেছিল। প্রায় পঞ্চদশ কালো থেকে খেলোয়াড়েরা লালে ভিড় করেন, বাজি দ্বিগুণ ও আবার দ্বিগুণ করেন, প্রতিটি স্পিনকে আগেরটির চেয়ে “নিশ্চিত” মনে করেন। ক্যাসিনো মিলিয়ন মিলিয়ন ফ্রাঁ জেতে। প্রথম কালো থেকে এই ধারার সম্ভাবনা ছিল 137 মিলিয়ন-এ 1, আর বিশ্বের কোথাও কোনো ক্যাসিনোতে শেষ পর্যন্ত এটি ঘটার সম্ভাবনা কার্যত এক। এই কারণেই জুয়াড়ির ভ্রান্তিকে মন্টে কার্লো ভ্রান্তিও বলা হয়।
অস্বাভাবিক নয়। 44 বারে একবার ঘটে।
খেলোয়াড়েরা খেয়াল করতে শুরু করেন। লাল “আসার কথা”।
টেবিলে ভিড়। প্রতিটি হারের পর লালে বাজির অঙ্ক দ্বিগুণ করা হয়।
অনেকে সর্বস্ব হারান। প্রতিটি নতুন কালোতে লালকে আরও নিশ্চিত মনে হয়।
ধারাটি শেষ হয়। ক্যাসিনো এমন একটি ধারার বিপক্ষে বাজি ধরা মানুষদের কাছ থেকে মিলিয়ন মিলিয়ন ফ্রাঁ জিতেছে, যে ধারা নিজে “জানতে” পারে না যে সেটি একটি ধারা।
হট হ্যান্ড
কোনো রং ধারায় আছে বলে তাতে বাজি ধরা একই ভুলের উল্টো দিক: ধারা শেষ হবে না, চলতেই থাকবে বলে ধরে নেওয়া হয়। মনোবিজ্ঞানীরা একে হট হ্যান্ডভ্রান্তিগরম হাতজয়ের ধারা বা একটি ফল আবার ঘটার সম্ভাবনা বাড়ায়—এই বিশ্বাস। চাকায় এটি উল্টো দিকের জুয়াড়ির ভ্রান্তি।সম্পূর্ণ পড়ুন → বলেন; গিলোভিচ, ভ্যালোন ও টভার্স্কির 1985 সালের গবেষণাটি বাস্কেটবল শুটিংয়ের ধারায় দৈবের বেশি কিছু পায়নি। 2018 সালে মিলার ও সানহুরহো দেখান পরীক্ষাটিই পক্ষপাতদুষ্ট ছিল: ছোট রেকর্ডে হিটের ঠিক পরের হিটের অনুপাত গড়ে শুটারের সামগ্রিক হারের নিচে আসে, তাই মোটেও হট হ্যান্ড না থাকা খেলোয়াড়কেও সামান্য ঠান্ডা দেখায়। সংশোধন করলে একই তথ্য সামান্য হট হ্যান্ড দেখায়। মানুষ ফর্মে আসতে পারে; চাকার তেমন কোনো ফর্ম নেই। কিছু খেলোয়াড় একই সঙ্গে বিশ্বাস করেন যে ধারা “খুব দীর্ঘ” না হওয়া পর্যন্ত চলে, তারপর শেষ হয়। ন্যায্য চাকায় প্রতিটি সংস্করণের প্রত্যাশিত মানগণিতপ্রত্যাশিত মানদীর্ঘমেয়াদে প্রতি বাজির গড় ফল। প্রতিটি মানক ইউরোপীয় বাজিতে বাজির অঙ্কের −1/37।সম্পূর্ণ পড়ুন → মুদ্রা ছুড়ে রং বাছার মতোই: বাজির অঙ্কের −2.70%।
বাস্তব টেবিলে
ক্রোসন ও সুন্দালি (2005) রেনোর একটি বড় ক্যাসিনোর একটি দুই-শূন্যচাকাজিরোএকক সবুজ খোপ, যা কোনো সমান-অর্থের, ডজন বা কলাম বাজি ঢাকে না; হাউস এজের উৎস। একক জিরো, 0-ও বলা হয়।সম্পূর্ণ পড়ুন → টেবিলের 18 ঘণ্টার নিরাপত্তা ভিডিও দেখেন: 139 জন খেলোয়াড় 24,131টি বাজি ধরেছেন। সমান-অর্থের বাজিতেবাজিসমান-অর্থের বাজিলাল/কালো, বিজোড়/জোড়, উঁচু/নিচু। 18টি সংখ্যা, প্রদান 1:1।সম্পূর্ণ পড়ুন → খেলোয়াড়েরা ছোট ধারা অনুসরণ করা ও তার বিপক্ষে যাওয়ার মধ্যে প্রায় সমান ভাগে ছিলেন। একই ফল টানা পাঁচবার এলে তারা ধারার বিপক্ষে ঝুঁকতেন, আর ছয়বার বা তার বেশি এলে তাদের 85% বাজি অন্য দিকে ছিল। একই খেলোয়াড়েরা নিজেদের ক্ষেত্রে হট হ্যান্ডও দেখিয়েছেন: সংখ্যায় জেতার পর পরের স্পিনে তাঁরা গড়ে 13.6টি সংখ্যা ঢেকেছেন, হারের পর 9.2টির তুলনায়। তাঁদের চাকায় পক্ষপাতের কোনো লক্ষণ ছিল না, তাই এতে কারও প্রত্যাশিত ফল বদলায়নি।
ক্যাসিনোর বাইরে
বাস্তব সিদ্ধান্তের ক্ষেত্রেও একই টান দেখা যায়। ক্লটফেল্টার ও কুক (1993) মেরিল্যান্ডের দৈনিক নম্বর-খেলা পর্যবেক্ষণ করেন: কোনো নম্বর উঠলেই তাতে বাজি ধরা অর্থ তীব্রভাবে কমে যায় এবং ফিরতে মাস লাগে, যদিও ড্রয়ের কোনো স্মৃতি নেই। চেন, মস্কোভিটজ ও শুয়ে (2016) পেশাজীবীদের মধ্যেও এটি পান। যুক্তরাষ্ট্রের আশ্রয়-আবেদন বিচারকেরা আগের আবেদনটি মঞ্জুর করলে পরেরটি প্রত্যাখ্যান করার সম্ভাবনা 3.3 শতাংশ পয়েন্ট পর্যন্ত বেশি ছিল। বেসবল আম্পায়াররা একটি স্ট্রাইক বলার পর আরেকটি স্ট্রাইক বলার সম্ভাবনা 1.5 পয়েন্ট কম, এবং কাছাকাছি পিচে তার দ্বিগুণেরও বেশি কম ছিল। স্থির পারিশ্রমিক পাওয়া ঋণ কর্মকর্তাদের ক্ষেত্র-পরীক্ষায় এভাবে 9% পর্যন্ত সিদ্ধান্ত বদলে গিয়েছিল। মামলাগুলো এলোমেলো ক্রমে এসেছিল, তাই আগের সিদ্ধান্ত পরেরটি সম্পর্কে কিছু বলত না, যেমন আগের স্পিন পরেরটি সম্পর্কে কিছু বলে না।
বিপরীত জুয়াড়ির ভ্রান্তি
দার্শনিক ইয়ান হ্যাকিং (1987) তৃতীয় একটি সংস্করণের নাম দেন। কেউ ঘরে ঢুকে এক জোড়া পাশায় ডাবল সিক্স পড়তে দেখে সিদ্ধান্ত নেন, পাশা নিশ্চয়ই ইতিমধ্যে বহুবার ছোড়া হয়েছে। সন্ধ্যার প্রথম বা হাজারতম ছোড়া—প্রতিটিরই ডাবল সিক্স হওয়ার সম্ভাবনা সমান, তাই দৃশ্যটি খেলা কতক্ষণ চলেছে তা বলে না। রুলেটে এর রূপ হলো বোর্ডে আটটি লাল দেখে খেলোয়াড়ের সিদ্ধান্ত নেওয়া যে এগুলো পেতে টেবিলটি নিশ্চয়ই ঘণ্টার পর ঘণ্টা ঘুরেছে। সাধারণ ভ্রান্তি পরের স্পিনে অতীতকে পড়ে; এটি কেউ না দেখা অতীতে বিরল দৃশ্যকে পড়ে।
যে মনোবিজ্ঞানী এটি বিশ্বাস করতেন
এই ভ্রান্তির শিক্ষিত সমর্থকও ছিলেন। জার্মান মনোবিজ্ঞানী কার্ল মার্বে 49,152টি জন্মের চারটি নিবন্ধ পরীক্ষা করে দেখেন, টানা ছেলে বা মেয়ের দীর্ঘতম ধারা ছিল 17, এবং সিদ্ধান্ত নেন যে দৈব অনুমতি দেয় তার চেয়ে দীর্ঘ ধারা বিরল, তাই একটি ধারা অন্য ফলটিকে বেশি সম্ভাব্য করে। শুধু দৈবই উল্টো কথা বলে: 1,96,608টি জন্মে 17 বা তার বেশি ধারার দেখা প্রায় পাঁচবারে চারবার মেলে। মার্বে দৈব ধারার চেহারাই ঠিক খুঁজে পেয়েছিলেন। এপস্টাইন (2013) ঘটনাটি আবার বলেন; ধারার সম্ভাবনা পাতায় রুলেটের সংস্করণটি আছে।
যেখানে ভ্রান্তিটি প্রযোজ্য নয়
চাকাটি শারীরিকভাবে পক্ষপাতদুষ্ট হলে আগের স্পিন তথ্যবহুল হতো, কারণ সেগুলো দৈব নয়, খোপ সম্পর্কে প্রমাণ দিত। সেটি ল্যাবের বিষয়, এবং কিছু বলতে হলে একটি শনাক্ত চাকায় হাজার হাজার স্পিন দরকার। অজানা চাকায় টানা দশটি লালের ক্ষেত্রে পক্ষপাতের ব্যাখ্যা দৈবের ব্যাখ্যার চেয়ে অনেক কম সম্ভাব্য।
প্রশ্ন
না। এটি যেকোনো স্বাধীন পুনরাবৃত্ত ঘটনায় প্রযোজ্য: পাশা, মুদ্রা, লটারির নম্বর।
অনুপাত কাছাকাছি হবে। আপনার ফল তবু আপনার মোট বাজির প্রায় −2.70% হবে।
গড়ের কোনো সূত্র নেই। বৃহৎ সংখ্যার সূত্র আছে, এবং তা পাতলা হয়ে যাওয়ার মাধ্যমে কাজ করে।
গণিতের মজা
আগে এগুলো নিজে করে দেখুন। প্রতিটি সমাধান ভাঁজ করা আছে; প্রস্তুত হলে খুলুন।
10 বার ছোড়ার পর একটি কয়েনে 7টি হেড ও 3টি টেল আসে। 1,000 বার ছোড়ার পর তাতে 517টি হেড ও 483টি টেল আসে। টেল কি ব্যবধান পুষিয়ে নিয়েছে?
সমাধান দেখুন
উত্তর না। ব্যবধান 4 থেকে 34 হয়েছে। শুধু অনুপাত সমতার কাছাকাছি এসেছে।
হেড ও টেলের অনুপাত 7/3, অর্থাৎ প্রায় 2.33, থেকে 517/483, অর্থাৎ প্রায় 1.07-এ নেমেছে। এখানে বৃহৎ সংখ্যার সূত্রগণিতবৃহৎ সংখ্যার সূত্রপরীক্ষার সংখ্যা বাড়লে স্বাধীন ফলের গড় প্রত্যাশিত মানের দিকে মিলিত হয়।সম্পূর্ণ পড়ুন → কাজ করছে।
তাদের মধ্যকার ব্যবধান 4 থেকে 34-এ বেড়েছে। ন্যায্য কয়েনে 1,000 বার ছোড়ার পর প্রায় 30-এর ব্যবধান স্বাভাবিক: সাধারণ ব্যবধান মোট ছোড়ার সংখ্যার বর্গমূলের মোটামুটি অনুপাতে বাড়ে, আর অনুপাত 1-এর দিকে স্থির হয়।
কোনো কিছু টেলকে টেনে ফেরায়নি। হেডের প্রাথমিক আধিক্য পরের 990 বার ছোড়ায় পাতলা হয়েছে, সংশোধিত হয়নি।
একটি কয়েন চারবার ছুড়ুন এবং শুধু হেডের ঠিক পরের ছোড়াগুলো দেখুন। সেগুলোর কত ভাগ হেড? সম্ভাব্য 16টি ক্রমের প্রত্যেকটির জন্য হিসাব করুন এবং ভাগগুলোর গড় নিন। তা কি 50%?
সমাধান দেখুন
উত্তর না। তা 17/42, প্রায় 40.5%। এভাবে দেখলে ন্যায্য কয়েন হেডের পর ঠান্ডা হয়ে যায় বলে মনে হয়।
16টি ক্রম লিখুন। এর মধ্যে TTTT ও TTTH-এ প্রথম তিনটি ছোড়ায় কোনো হেড নেই, তাই হেডের পর কিছুই নেই; বাকি থাকে 14টি।
প্রতিটিতে হেডের পরের ছোড়াগুলো নিন এবং তার মধ্যে কত ভাগ হেড তা বের করুন। HHHH-এ 3টির মধ্যে 3টি। HHHT-এ 3টির মধ্যে 2টি। HTHT-এ 2টির মধ্যে 0টি। 14টি সব দেখলে: ছয়টি ক্রমে 0, চারটিতে 1/2, একটিতে 2/3 এবং তিনটিতে 1 (HHHH, THHH ও TTHH)।
ভাগগুলো যোগ করুন: 4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3। 14 দিয়ে ভাগ করুন: 17/42 ≈ 40.5%।
কোনো ছোড়াই টেলকে সুবিধা দেয় না; প্রতিটিতে 50–50। এই ঢালটি আসে ক্রম ধরে গড় নেওয়া থেকে: হেডে ভরা একটি ক্রমে দেখার মতো অনেক ছোড়া আছে, কিন্তু তা একবারই গণ্য হয়—একটি মাত্র হেড থাকা ক্রমের মতোই। Miller ও Sanjurjo (2018) দেখিয়েছিলেন যে 1985 সালের হট-হ্যান্ড গবেষণা তাদের বাস্কেটবল খেলোয়াড়দের এভাবেই মেপেছিল; ফলে যারা দৈব ঘটনার চেয়ে বেশি ধারাবাহিক বলে মনে হয়নি, তারা আসলে কিছুটা বেশি ধারাবাহিক ছিল।
কমিক বিরতি
পাতলা হয়ে যাওয়া, সংশোধন নয়। চাকার কিছু পাওনা নেই।
উৎস
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Croson, R. & Sundali, J. “The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos.”
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. “Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires.”
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. “The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play.”
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. “The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences.”
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. “Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers.”
- Hacking, I. “The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes.”