সমস্যা: টেবিল সীমা
$500 টেবিলে $10 মার্টিঙ্গেল। কতবার এটি ভাঙে, ভাঙলে কত হারায়, এবং সীমা বাড়ালে কি সাহায্য হয়?
পরপর ছয় হার এটি ভাঙে: প্রতি চক্রে 1.8%, 100-স্পিনের সেশনের প্রায় 60%। ভাঙলে ক্ষতি $630। সীমা $5,000 করলে ভাঙা বিরল (প্রতি চক্রে 0.25%) এবং বড় ($5,110) হয়। যেকোনো সীমায় বাজি ধরা প্রতি ডলারে প্রত্যাশিত ক্ষতি 2.70%।
সমস্যাটি
একজন খেলোয়াড় লালেবাজিলাল18টি লাল সংখ্যার সমান-অর্থের বাজি। ফরাসি: rouge।সম্পূর্ণ পড়ুন → $10 বাজি ধরেন এবং প্রতিটি হারের পর দ্বিগুণ করেন, জয়ের পর আবার শুরু করেন। টেবিলের সর্বোচ্চ সীমা $500। (a) পরপর কত হার প্রগ্রেশন কৌশলটিকৌশলপ্রগ্রেশন কৌশলআগের ফলের ভিত্তিতে বাজির অঙ্ক বদলানো যেকোনো নিয়ম। ঋণাত্মক প্রগ্রেশন হারের পরে বাড়ায়, ইতিবাচক প্রগ্রেশন জয়ের পরে।সম্পূর্ণ পড়ুন → ভাঙে? (b) প্রতি চক্রে সম্ভাবনাগণিতসম্ভাবনাকোনো ফলের সুযোগ, 0 থেকে 1 বা 0% থেকে 100%। একটি সংখ্যা: 1/37 = 2.70%।সম্পূর্ণ পড়ুন → কত? (c) ভাঙলে কত হারায়? (d) $5,000 সীমা উত্তরগুলো কীভাবে বদলায়? (e) কোনো সীমা কি পদ্ধতিটিকে লাভজনক করে?
সমাধান (a)–(c)
বাজির অঙ্ক: 10, 20, 40, 80, 160, 320। সপ্তমটি 640 > 500 হতো, তাই ছয় হার এটি ভাঙে। (b) লালে p(হার) = 19/37; (19/37)⁶ = 0.0183, প্রতি চক্রে প্রায় 1.8%। একটি চক্র গড়ে প্রায় দুই স্পিন স্থায়ী হয়, তাই 100-স্পিনের সেশনে মোটামুটি 50টি চক্র এবং p(অন্তত একবার ভাঙা) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%। (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, অর্থাৎ 63টি ভিত্তি এককঅর্থইউনিটএকটি সিস্টেম বা খেলোয়াড় যে মূল বাজির অঙ্কে কাজ করেন। প্রগ্রেশন ইউনিটে বর্ণিত হয় যাতে যেকোনো টেবিলে চলে।সম্পূর্ণ পড়ুন →, যেখানে চক্রটি $10 জেতার চেষ্টা করছিল।
সমাধান (d)
$5,000-এ: 2,560 পর্যন্ত বাজির অঙ্ক অনুমোদিত; দশম বাজি 5,120 প্রত্যাখ্যাত হয়। নয় হার এটি ভাঙে: (19/37)⁹ ≈ প্রতি চক্রে 0.25%, 100-স্পিনের সেশনের প্রায় 11%। ভাঙলে ক্ষতি: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110। খেলোয়াড় বড়টির মূল্যে বিরল বিপর্যয় কিনেছেন। বহু সেশনে ভাঙার প্রত্যাশিত খরচ p × ক্ষতি ≈ $500 সীমায় প্রতি চক্রে 0.0183 × 630 = $11.5 এবং $5,000-এ 0.0025 × 5,110 = $12.8; রাউন্ডিংয়ের মধ্যে একই সংখ্যা, এবং তা হলো চক্রের প্রত্যাশিত ক্ষতিগণিতপ্রত্যাশিত ক্ষতিপ্রত্যাশিত মানকে মোট বাজির অঙ্ক দিয়ে গুণ; একটি সেশন বা সময়ে গড়ে হারানো অঙ্ক।সম্পূর্ণ পড়ুন → থেকে জয়ী চক্রগুলোর আয় করা $10 বাদ দিলে যা থাকে।
সমাধান (e)
না। প্রতি চক্রে প্রত্যাশিত ক্ষতি = (চক্রে প্রত্যাশিত মোট বাজির অঙ্ক) / 37, যেকোনো সীমায়, কারণ প্রতিটি বাজি নিজ অঙ্কের −1/37। সীমা শুধু ঠিক করে বহু ছোট জয় ও অল্প বড় হারের মধ্যে ক্ষতি কীভাবে বণ্টিত হবে। সীমা না থাকলে এবং অসীম তহবিলঅর্থতহবিলখেলার জন্য আলাদা রাখা মোট অর্থ। তহবিল ব্যবস্থাপনা হলো প্রতি বাজি ও প্রতি সেশনে তার কতটা ঝুঁকিতে রাখবেন তা ঠিক করা।সম্পূর্ণ পড়ুন → থাকলে প্রগ্রেশনটি “কাজ করত”, অর্থাৎ কখনও ভাঙত না, এবং তবু সীমাহীন অঙ্ক বাজি ধরে সেই সীমাহীন অঙ্কের 2.70% প্রত্যাশিত ক্ষতি করত। টেবিল সীমাটেবিলটেবিল সীমাঅনুমোদিত সর্বনিম্ন ও সর্বোচ্চ বাজি। সর্বোচ্চ সীমাই দ্বিগুণকরণ প্রগ্রেশন থামায়।সম্পূর্ণ পড়ুন → মার্টিঙ্গেলকেকৌশলমার্টিঙ্গেলপ্রতিটি হারের পরে বাজি দ্বিগুণ করে এমন প্রগ্রেশন। এটি কী করে ও কী করে না, কৌশল বিভাগ দেখুন।সম্পূর্ণ পড়ুন → কাজ করা থেকে থামায় না। হিসাব থামায়।
দুটি বাস্তব টেবিল
থর্পের উদাহরণে $1 টেবিলের সর্বোচ্চ সীমা $1,000, যেখানে খেলোয়াড় ডলারে ডলারে রাতের খাবারের জন্য $30 জেতার আশা করেন। 1, 2, 4 … 512 অঙ্কে দশটি বাজি সম্ভব, তাই পরপর দশ হার প্রগ্রেশন ভাঙে: ইউরোপীয় চাকায় প্রতি 785 চক্রে একবার (আমেরিকানে প্রতি 613 চক্রে একবার), $1,023 খরচে। ত্রিশটি চক্রে সব সফল হয় 96.2% সময়। বাকি 3.8%-এ প্রায় $1,000 হারায়, আর সন্ধ্যার গড় ফল −$9.17, যা ত্রিশ চক্রে গড়ে বাজি ধরা $339-এর ঠিক 1/37। সর্বোচ্চ $2,000-সহ $5 টেবিলও আলাদা নয়: $1,280 পর্যন্ত অঙ্কে নয়টি বাজি সম্ভব, এবং ইউরোপীয় চাকায় প্রতি 403 চক্রে (আমেরিকানে প্রতি 323 চক্রে) ভাঙে, $2,555 খরচে।
ধনী খেলোয়াড়
কম সীমার বদলে প্রগ্রেশনকে গভীর তহবিল দিন: 1,000 একক, এক-একক ভিত্তি এবং লালে 1,000 স্পিন; পরের দ্বিগুণ যা বাকি আছে তার বেশি হলে প্রতিবার আবার এক একক থেকে শুরু। আমরা এমন দশ লাখ সন্ধ্যা সিমুলেট করেছি। ইউরোপীয় চাকায় 52% এগিয়ে শেষ হয়, 21% সবকিছু হারায়, এবং গড় ফল −124 একক। শূন্যহীনচাকাজিরোএকক সবুজ খোপ, যা কোনো সমান-অর্থের, ডজন বা কলাম বাজি ঢাকে না; হাউস এজের উৎস। একক জিরো, 0-ও বলা হয়।সম্পূর্ণ পড়ুন → খেলায়ও, যেখানে প্রতিটি বাজি ন্যায্য, মাত্র প্রায় 60% এগিয়ে শেষ হতো। সাধারণ সন্ধ্যা ছোট জয়; গড়ের মূল্য দেয় শূন্যে শেষ হওয়া সন্ধ্যাগুলো।
শিক্ষা
ক্যাসিনো নিজেদের বিচ্যুতিগণিতবিচ্যুতিপ্রত্যাশিত মানের চারপাশে ফল কত বিস্তৃতভাবে ছড়ায় তার মাপ। একক-সংখ্যা বাজিতে বেশি, সমান-অর্থের বাজিতে কম।সম্পূর্ণ পড়ুন → সীমিত করতে সীমা বসায়, পদ্ধতিকে হারাতে নয়। মার্টিঙ্গেলকে হারানো তাদের পছন্দের একটি পার্শ্বপ্রতিক্রিয়া, এবং হিসাব যাই হোক তাকে হারাত। যে খেলোয়াড় সীমাকেই সমস্যা মনে করেন, তিনি খাড়াইটি খুঁজে ঢাল ভেবেছেন।
সূত্র
প্রশ্ন
এটি আপনাকে উঁচু সীমা পর্যন্ত টিকতে দেয়, যেখানে ভাঙা বিরল ও বড়। প্রতি ডলারে প্রত্যাশিত ক্ষতি অপরিবর্তিত।
অঙ্ক 10, 30, 70, 150, 310: পাঁচ হারের পর $500 সীমায় পৌঁছে এবং ভাঙলে $570 খরচ। একই 2.70%।
যাতে একজন খেলোয়াড় ক্যাসিনোর মজুত আরামে দিতে পারে তার চেয়ে বেশি বাজি ধরতে না পারেন। বিচ্যুতি ব্যবস্থাপনা।
গণিতের মজা
আগে এগুলো নিজে করে দেখুন। প্রতিটি সমাধান ভাঁজ করা আছে; প্রস্তুত হলে খুলুন।
একটি মার্টিঙ্গেলকৌশলমার্টিঙ্গেলপ্রতিটি হারের পরে বাজি দ্বিগুণ করে এমন প্রগ্রেশন। এটি কী করে ও কী করে না, কৌশল বিভাগ দেখুন।সম্পূর্ণ পড়ুন → লালেবাজিলাল18টি লাল সংখ্যার সমান-অর্থের বাজি। ফরাসি: rouge।সম্পূর্ণ পড়ুন → $100 থেকে শুরু করে এবং একটি চক্রে সর্বোচ্চ nটি বাজি মঞ্জুর করে: টানা n বার হারলে ছেড়ে দিয়ে আবার শুরু করে। n-এর সূত্রে এক চক্রের গড় ফল লিখুন, এবং ইউরোপীয় চাকায় 5, 6 ও 7 বাজির জন্য বের করুন।
সমাধান দেখুন
উত্তর গড় হলো 100 × (1 − (38/37)ⁿ): 5 বাজিতে −$14.26, 6-এ −$17.35 এবং 7-এ −$20.52। বেশি বাজি মঞ্জুর করলে গড় চক্র ভালো নয়, খারাপ হয়।
সব nটি বাজি না হারলে একটি চক্র $100 জেতে; সব হারার সম্ভাবনা qⁿ, যেখানে q = 19/37। সব হারলে 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ বাজির অঙ্কগুলোর যোগফল 100 × (2ⁿ − 1)। তাই গড় হলো 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ)।
এখানে 2q = 38/37, যা 1-এর সামান্য বেশি; তাই (2q)ⁿ n-এর সঙ্গে বাড়ে এবং গড় কমে: n = 5-এ 1.1426 ও −$14.26; n = 6-এ 1.1735 ও −$17.35; n = 7-এ 1.2052 ও −$20.52। দীর্ঘ সিঁড়ি কম হারে ভাঙে—চক্রের 3.6%, 1.8% ও 0.9%-এ—কিন্তু প্রতিটি ক্ষতি দ্বিগুণ বড়, এবং প্রতি চক্রে টেবিল পেরিয়ে বেশি অর্থ যায়, প্রতিটি বাজির 2.70% হারে।
আমেরিকান চাকায় 2q = 40/38 এবং মানগুলো −$29.24, −$36.04 ও −$43.20 (Taylor, 2021)। শূন্যচাকাজিরোএকক সবুজ খোপ, যা কোনো সমান-অর্থের, ডজন বা কলাম বাজি ঢাকে না; হাউস এজের উৎস। একক জিরো, 0-ও বলা হয়।সম্পূর্ণ পড়ুন →বিহীন খেলায় 2q = 1, এবং সিঁড়ি যত দীর্ঘই হোক প্রতিটি চক্রের গড় ঠিক শূন্য।
“গ্র্যান্ড মার্টিঙ্গেল” হারের পরে বাজি দ্বিগুণ করে এবং এক ইউনিটঅর্থইউনিটএকটি সিস্টেম বা খেলোয়াড় যে মূল বাজির অঙ্কে কাজ করেন। প্রগ্রেশন ইউনিটে বর্ণিত হয় যাতে যেকোনো টেবিলে চলে।সম্পূর্ণ পড়ুন → যোগ করে, তাই বাজিগুলো 1, 3, 7, 15, 31 … হয়। প্রথম জয়টি 1ম, 2য়, 3য় বা kতম বাজিতে এলে আপনি কত এগিয়ে? $10 ইউনিটে ও $500 সর্বোচ্চে, একটি চক্র কতবার ভাঙে এবং গড়ে তার খরচ কত?
সমাধান দেখুন
উত্তর kতম বাজিতে জয় আপনাকে k ইউনিট এগিয়ে দেয়: +1, +2, +3 ইত্যাদি। $10 ও $500-এ পাঁচ হারের পরে চক্র ভাঙে, চক্রের 3.57%-এ, −$570-এ। গড়ে একটি চক্র $85.73 বাজি রেখে $2.32 হারে: 2.70%।
kতম বাজির অঙ্ক 2ᵏ − 1 ইউনিট: 1, 3, 7, 15, 31। প্রথম k − 1 বাজির যোগফল 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1। kতম বাজিতে জয় দেয় 2ᵏ − 1, তাই চক্র শেষ হয় (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k ইউনিট এগিয়ে: জয়ের আগের প্রতি হারের জন্য এক অতিরিক্ত ইউনিট।
প্রতি ইউনিট $10 হলে বাজিগুলো $10, $30, $70, $150 ও $310; পরেরটি $630, $500 সর্বোচ্চের বেশি। টানা পাঁচ হার, (19/37)⁵ = 3.57%, খরচ 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570।
গড়: k = 1 থেকে 5-এর জন্য জয়গুলো (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 সম্ভাবনায় $10 × k আনে, এবং ভাঙন 3.57% সম্ভাবনায় $570 নেয়; একত্রে −$2.32। বাজি রাখা অর্থের গড় প্রতি চক্রে $85.73, এবং 2.32/85.73 = 2.70%। একই টেবিলে সাধারণ মার্টিঙ্গেল টানা ছয় হারের পরে ভাঙে, চক্রের 1.83%-এ, −$630-এ; $64.20 বাজি রেখে $1.74 হারে: আবার 2.70%।
একজন খেলোয়াড় $1 প্রথম বাজি দিয়ে লালে মার্টিঙ্গেল করার পরিকল্পনা করেন; টেবিলের সীমা $1,000, তাই দশটি বাজি সম্ভব: $1, $2, $4, এভাবে $512 পর্যন্ত। একটি চক্র কতবার দশটিই হারে, গড়ে তাতে কত সময় লাগে, এবং 200 বাজির একটি সন্ধ্যা কতবার এভাবে শেষ হয়?
সমাধান দেখুন
উত্তর একটি চক্র দশটিই হারে প্রায় 784-তে একবার, যার খরচ $1,023। তা গড়ে প্রায় 1,600 বাজি, এবং 200 বাজির সন্ধ্যা প্রায় 11% সময় সীমায় ধাক্কা খায়। একটি চক্র তবু $11.31 বাজি রেখে গড়ে $0.31 হারে: 2.70%।
লালের বাজি শূন্যসহ 19/37 সম্ভাবনায় হারে। টানা দশ হার: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128, প্রায় 784-তে 1। বাজিগুলো 1 + 2 + 4 + … + 512, যার যোগফল $1,023।
একটি চক্রে গড়ে 2.05 বাজি লাগে, তাই 784 চক্রে প্রায় 1,600 বাজি। স্পিন ধরে গুনলে 200 বাজির কোথাও দশ হারের রান হওয়ার সম্ভাবনা 11.3%।
বিপর্যয়ের মাঝখানে খেলোয়াড় প্রতি চক্রে $1 জেতেন: খারাপটির আগে প্রায় $783, পরে −$1,023, পুরো ব্যবধানে প্রায় −$240। প্রতি চক্রে: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31। প্রতি চক্রে বাজি রাখা অর্থ: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31। এবং −0.31/11.31 = −2.70%।
তুলনা করুন: $500 সীমায় $10 প্রথম বাজি, ছয়টি বাজি; দেয়াল আসে 55 চক্রে একবার, আর 200 বাজির সন্ধ্যায় 84% সময় আসে। উঁচু সীমা ভাঙনকে বিরল ও বড় করে, সস্তা করে না।
কমিক বিরতি
প্রতিটি সীমায় বিরল ও বড়। গুণফল ধ্রুবক।
উৎস
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.