কেলি মানদণ্ড ও রুলেট
কেলি মানদণ্ড সুবিধাযুক্ত বাজি ধরা ব্যক্তিকে কত বাজি ধরতে হবে বলে। রুলেটের জন্য এর স্পষ্ট উত্তর: কিছুই নয়।
কেলি বাজির অঙ্ক = সুবিধা / অডস। সুবিধা ঋণাত্মক হলে সূত্রটি ঋণাত্মক ভগ্নাংশ দেয়, যার অর্থ বাজি ধরবেন না। পক্ষপাত ধরতে পারা খেলোয়াড়রা কেন এভাবে বাজির অঙ্ক নির্ধারণ করত, আর অন্য সবার কেন বাজেট অনুযায়ী অঙ্ক নির্ধারণ করা উচিত, তা বোঝার জন্যও মানদণ্ডটি কাজে লাগে।
মানদণ্ডটি
জন কেলি (1956) জানতে চেয়েছিলেন, জানা সুবিধাযুক্ত একজন জুয়াড়ির দীর্ঘমেয়াদে তহবিলঅর্থতহবিলখেলার জন্য আলাদা রাখা মোট অর্থ। তহবিল ব্যবস্থাপনা হলো প্রতি বাজি ও প্রতি সেশনে তার কতটা ঝুঁকিতে রাখবেন তা ঠিক করা।সম্পূর্ণ পড়ুন → বৃদ্ধিকে সর্বাধিক করতে বাজির অঙ্ক কত হওয়া উচিত। b থেকে 1 অনুপাতে প্রদানকারী, জয়ের সম্ভাবনাগণিতসম্ভাবনাকোনো ফলের সুযোগ, 0 থেকে 1 বা 0% থেকে 100%। একটি সংখ্যা: 1/37 = 2.70%।সম্পূর্ণ পড়ুন → p এবং হারার সম্ভাবনা q = 1 − p-সহ একটি বাজির উত্তর হলো তহবিলের f* = (bp − q) / b অংশ বাজি ধরা। f* ধনাত্মক হলে ওই অংশ বাজি ধরুন; শূন্য বা ঋণাত্মক হলে বাজি ধরবেন না। কেলি বেল ল্যাবস-এ কাজ করতেন; তাঁর “A new interpretation of information rate” নিবন্ধে ক্লদ শ্যানন-এর তথ্যতত্ত্বের আলোকে সমস্যাটি রাখা হয়: ন্যায্য অডসে শব্দপূর্ণ লাইনে টিপস পাওয়া জুয়াড়ি সর্বোচ্চ লাইনের তথ্যবহন হারে তহবিল বাড়াতে পারে। 1961 সালে লিও ব্রেইম্যান প্রমাণ করেন, দীর্ঘমেয়াদে কেলি বাজি মূলত ভিন্ন যেকোনো কৌশলকে ছাড়িয়ে যায় এবং প্রায় সবচেয়ে কম সময়ে নির্দিষ্ট লক্ষ্যে পৌঁছায়।
রুলেটে কেলি বাজি
লালেরবাজিলাল18টি লাল সংখ্যার সমান-অর্থের বাজি। ফরাসি: rouge।সম্পূর্ণ পড়ুন → জন্য: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37। একটি একক-সংখ্যা বাজিরবাজিএকক-সংখ্যা বাজিএকটি মাত্র সংখ্যা, প্রদান 35:1।সম্পূর্ণ পড়ুন → জন্য: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295। প্রতিটি মানক বাজি ঋণাত্মক কেলি ভগ্নাংশ দেয়, কারণ প্রতিটি বাজির সুবিধা ঋণাত্মক এবং বৃদ্ধি-সর্বোত্তম বাজির অঙ্ক শূন্য। রুলেটে কেলি বাজি হাউস এজের পাতার কথাটি আনুষ্ঠানিকভাবে বলার উপায়: ঋণাত্মক-প্রত্যাশার বাজি তহবিল বাড়ায় এমন কোনো অঙ্ক নেই।
যেখানে কেলি প্রযোজ্য ছিল
পক্ষপাত ধরতে পারা খেলোয়াড়দের সুবিধা ও অঙ্ক নির্ধারণের সমস্যা ছিল। জ্যাগার, গার্সিয়া-পেলায়োস এবং ইউডেমনস—সবারই মাপা সুবিধায় কত বাজি ধরবেন ঠিক করতে হতো; কম বাজি সুবিধা নষ্ট করে, আর বেশি বাজি সুবিধা দেখা দেওয়ার আগেই সর্বনাশের ঝুঁকি তৈরি করে। 30-এ 1 বার হিট করা একটি খোপেসরঞ্জামখোপরোটরের 37টি নম্বরযুক্ত ঘরের একটি। খাঁজ বা কাপও বলা হয়।সম্পূর্ণ পড়ুন → কেলি প্রতি স্পিনে ওই সংখ্যায় তহবিলের 0.57% বাজি বলতে পারে: $10,000 হলে প্রতি স্পিনে প্রায় $57, সাধারণত প্রতি স্পিনে প্রায় 0.054% বৃদ্ধি, বা 1,000 স্পিনে ×1.7। গড় লাভ তার দ্বিগুণ, প্রতি স্পিনে 0.11%, কিন্তু কেলি লক্ষ্য করে সাধারণ তহবিলকে, গড়টিকে নয়—কয়েকটি ভাগ্যবান ধারায় যা ফুলে ওঠে। সুবিধার অনুমান অনিশ্চিত বলে অর্ধ-কেলি-ই স্বাভাবিক ব্যবহারিক পছন্দ।
সাধারণ ও গড়
সাধারণ তহবিল এবং গড় তহবিলের ফারাক বড়। এমন একটি খোপ নিন যা 25-এ 1 বার হিট করে, অর্থাৎ 44% সুবিধা—নিজের যন্ত্রের জন্য থর্প যে পরিসংখ্যান দিয়েছেন। কেলি তাতে তহবিলের 1.26% বাজি ধরে। 1,000 স্পিনের পর সাধারণ তহবিল প্রায় 11.5 গুণ বেড়েছে, আর কিছু অতি ভাগ্যবান ধারায় উপরে ওঠা গড়টি বেড়েছে প্রায় 249 গুণ। কেলির চেয়ে বেশি বাজি গড় বাড়ায় এবং সাধারণ ফল কমায়: কেলি অঙ্কের দ্বিগুণে সাধারণ তহবিল কেবল দ্বিগুণ হয়, আর আড়াই গুণে তা কমতে থাকে—যদিও প্রতিটি বাজিতে তখনও 44% সুবিধা আছে। কম বাজি ধরার খরচ সামান্য: অর্ধেক অঙ্কে বৃদ্ধির প্রায় তিন-চতুর্থাংশ থাকে।
সুবিধা যখন অনুমান
কেলি ধরে নেয় সুবিধা জানা। টেবিলে তা অনুমান করা হয় এবং অনুমান সাধারণত বেশি হয়। থর্পের 44%-এর ওপর গড়া এপস্টিনের উদাহরণে ডাবল-শূন্যচাকাজিরোএকক সবুজ খোপ, যা কোনো সমান-অর্থের, ডজন বা কলাম বাজি ঢাকে না; হাউস এজের উৎস। একক জিরো, 0-ও বলা হয়।সম্পূর্ণ পড়ুন → চাকায় 1,225 স্পিনে একটি সংখ্যা 49 বার এসেছে: 25-এ 1 বার, 44% সুবিধা, কেলি বাজি 1.26%। কিন্তু ন্যায্য ডাবল-শূন্য চাকায় 38টি সংখ্যা, এবং তাদের মধ্যে ব্যস্ততমটি 1,225 স্পিনে 49 বা তার বেশি বার আসে প্রায় প্রতি নয়ে একবার। যেকোনো নথির ব্যস্ততম সংখ্যাটি ভাগ্যের সাহায্য সবচেয়ে বেশি পাওয়াটিও, তাই সত্যিই পক্ষপাতযুক্ত খোপও নথিতে বাস্তবের চেয়ে ভালো দেখায়: বিজয়ীর অভিশাপ। খোপটি আসলে পক্ষপাতমুক্ত হলে কেলি বাজি কেবল গড়ে 5.26% হারানো বাজি। স্বাভাবিক উত্তর হলো কেলির একটি অংশ বাজি ধরা এবং নতুন নথিতেও সুবিধা টিকে থাকা পর্যন্ত গুনতে থাকা (দেখুন চাকার পক্ষপাত শনাক্তকরণ)।
সুবিধাযুক্ত মানুষ
সুবিধা জানা আর তা ভালোভাবে ব্যবহার করা এক নয়। হাগানি ও ডিউই (2016) 61 জনকে আধা ঘণ্টা এমন একটি মুদ্রায় বাজি ধরতে $25 করে দেন, যেটিতে হেডস আসার হার 60% বলা হয়েছিল; জয় $250-এ সীমিত ছিল (খেলোয়াড়েরা সীমায় পৌঁছানোর পরই তা জানতে পারে)। কেলি বলে প্রতিবার হেডসে তহবিলের 20% বাজি ধরতে, এবং লেখকদের অনুমানে ধারাবাহিক 10–20% বাজি প্রায় 95% ক্ষেত্রে সীমায় পৌঁছাত। মাত্র 21% খেলোয়াড় সেখানে পৌঁছায়। 28% সর্বস্ব হারায়, 61 জনের 18 জন একবারের টসেই সবকিছু বাজি ধরে, প্রায় এক-তৃতীয়াংশ শুরু করা $25-এর নিচে শেষ করে, এবং গড় প্রদানঅর্থপ্রদানজেতা বাজি যা ফেরত দেয়; ফেরত আসা বাজির অঙ্কের অতিরিক্ত হিসেবে “X to 1” বলা হয়।সম্পূর্ণ পড়ুন → ছিল $91। 61 জনের মাত্র পাঁচজন কেলি মানদণ্ডের নাম শুনেছিল। সুবিধা থাকলে বাজির অঙ্ক ঠিক করে আপনি তা ধরে রাখবেন কি না; ন্যায্য চাকায় যেমন সুবিধা না থাকলে, কোনো অঙ্ক সাহায্য করে না।
বিকল্প হিসেবে কী ব্যবহার করবেন
সুবিধা ছাড়া অঙ্ক নির্ধারণ বৃদ্ধি নয়, বাজেটের প্রশ্ন: বাজির অঙ্ক = প্রতি স্পিনে আপনি যে ব্যয় করতে রাজি, যা ঘণ্টাপ্রতি বাজেট এবং টেবিলের গতির ভিত্তিতে নির্ধারিত (তহবিল ব্যবস্থাপনা পাতা)। সাধারণ খেলোয়াড়কে কেলির অবদান তার উত্তরের স্পষ্টতা: শূন্য। শূন্যের বেশি যা বাজি ধরেন, তা খেলার মূল্য, আপনার নির্বাচিত—কোনো সূত্রের সর্বোত্তম করা নয়।
ভগ্নাংশ-কেলি ও “অর্থ ব্যবস্থাপনা” নিয়ে একটি নোট
প্রতি বাজিতে তহবিলের স্থির শতাংশ সুপারিশ করা “রুলেটের জন্য কেলি” নামে বিক্রি হওয়া পদ্ধতিগুলো সঙ্কুচিত অঙ্কের স্থির-অঙ্কের বাজিকৌশলস্থির-অঙ্কের বাজিপ্রতি স্পিনে একই অঙ্কের বাজি ধরা। প্রতিটি প্রগ্রেশনের তুলনার ভিত্তি।সম্পূর্ণ পড়ুন →। এগুলো মোট বাজির অঙ্কেরঅর্থমোট বাজির অঙ্কসেশন বা সময়ে মোট বাজি, আবার বাজি ধরা জয়ও গোনা হয়। হ্যান্ডল বা অ্যাকশনও বলা হয়।সম্পূর্ণ পড়ুন → 2.70% হারায় এবং হারলে অঙ্ক ছোট হওয়ায় সর্বনাশকে অসম্ভাব্য নয়, ধীর করে। বাজেট দীর্ঘস্থায়ী করার এটি যুক্তিসংগত উপায়; এটি কেলি নয়, যার কথা হবে থামুন।
সূত্র
প্রশ্ন
শুধু মাপা সুবিধা থাকলে—একটি পক্ষপাতযুক্ত চাকাল্যাবপক্ষপাতদুষ্ট চাকাযে চাকায় ভৌত ত্রুটির কারণে কিছু খোপের সম্ভাবনা 1/37-এর চেয়ে বেশি। বিরল; হাজার হাজার নথিবদ্ধ স্পিন ছাড়া ধরা যায় না।সম্পূর্ণ পড়ুন → বা সময়নির্ণয় যন্ত্র থেকে। ন্যায্য চাকায় নয়।
কারণ সুবিধার অনুমানে ভুল থাকে এবং কম বাজি ধরার চেয়ে বেশি বাজি ধরা ব্যয়বহুল। অর্ধ-কেলি বিচ্যুতিরগণিতবিচ্যুতিপ্রত্যাশিত মানের চারপাশে ফল কত বিস্তৃতভাবে ছড়ায় তার মাপ। একক-সংখ্যা বাজিতে বেশি, সমান-অর্থের বাজিতে কম।সম্পূর্ণ পড়ুন → এক-চতুর্থাংশে বৃদ্ধির তিন-চতুর্থাংশ দেয়।
না। সুবিধা থাকলে কেলি বৃদ্ধি সর্বোত্তম করে। সুবিধা না থাকলে তহবিল ব্যবস্থাপনা ব্যয় নিয়ন্ত্রণ করে।
গণিতের মজা
আগে এগুলো নিজে করে দেখুন। প্রতিটি সমাধান ভাঁজ করা আছে; প্রস্তুত হলে খুলুন।
Thorp ও Shannon-এর পূর্বাভাসযন্ত্র প্রায় 44% এজ দিয়েছিল। একটি পূর্বাভাস করা সংখ্যায় Kelly বলেন তহবিলেরঅর্থতহবিলখেলার জন্য আলাদা রাখা মোট অর্থ। তহবিল ব্যবস্থাপনা হলো প্রতি বাজি ও প্রতি সেশনে তার কতটা ঝুঁকিতে রাখবেন তা ঠিক করা।সম্পূর্ণ পড়ুন → 1.26% বাজি রাখতে। একই 44% এজ যদি পাঁচটি প্রতিবেশী সংখ্যায় ছড়ানো এক বাজিতে আসে, তবে কী হবে?
সমাধান দেখুন
উত্তর তখন Kelly বলেন তহবিলের 7.1%, আর তহবিল প্রায় ছয় গুণ দ্রুত বাড়ে: 1,000 বাজিতে প্রায় 1.25 মিলিয়ন গুণ, যেখানে অন্যটিতে প্রায় 11.5 গুণ।
44% এজসহ একটি একক-সংখ্যা বাজিবাজিএকক-সংখ্যা বাজিএকটি মাত্র সংখ্যা, প্রদান 35:1।সম্পূর্ণ পড়ুন → 0.04 সম্ভাবনায় জেতে, কারণ 36 × 0.04 = 1.44। Kelly-র বাজির অঙ্ক হলো এজকে অডস দিয়ে ভাগ: 0.44/35 = 1.26%। প্রতি বাজির সাধারণ বৃদ্ধি 0.04 × ln(1 + 35 × 0.0126) + 0.96 × ln(1 − 0.0126) ≈ 0.00244; তাই 1,000 বাজিতে তহবিল প্রায় e^2.44 ≈ 11.5 গুণ হয়।
এক বাজি পাঁচটি সংখ্যায় ছড়ালে সেটি 0.20 সম্ভাবনায় জেতে এবং প্রতি 1 বাজিতে 36/5 ফেরত দেয়, অর্থাৎ 6.2 to 1: 44% এজ একই, কারণ 0.2 × 7.2 = 1.44। Kelly-র বাজির অঙ্ক হয় 0.44/6.2 = 7.10%, এবং প্রতি বাজির বৃদ্ধি 0.01404, আগের চেয়ে প্রায় 5.75 গুণ। 1,000 বাজিতে সেটি e^14.04, প্রায় 1.25 মিলিয়ন।
এজ একই; ওঠানামা কম। পাঁচবারে একবার জেতা বাজিতে সর্বনাশের ঝুঁকি ছাড়া তহবিলের আরও বড় অংশ বাজি রাখা যায়, আর Kelly-র বৃদ্ধি তার পুরস্কার দেয়। Thorp (1984) উদাহরণটি ব্যবহার করেছেন কেন পূর্বাভাসভিত্তিক খেলোয়াড়েরা খাতেচাকাখাতচাকার ধারাবাহিক কয়েকটি খোপের একটি খাত, যা বিন্যাসের কোনো গুচ্ছ থেকে আলাদা।সম্পূর্ণ পড়ুন → বাজি ধরে তা দেখাতে। বাস্তবে পাঁচ প্রতিবেশীবাজিপ্রতিবেশীচাকায় একটি সংখ্যা এবং তার দুই পাশের দুই খোপ; পাঁচটি একক-সংখ্যা চিপ।সম্পূর্ণ পড়ুন → একটি সেরা সংখ্যার চেয়ে সামান্য কম এজ বহন করে (সুবিধাভিত্তিক খেলা দেখুন)।
একজন খেলোয়াড় দুটি পাশাপাশি খোপসরঞ্জামখোপরোটরের 37টি নম্বরযুক্ত ঘরের একটি। খাঁজ বা কাপও বলা হয়।সম্পূর্ণ পড়ুন → পেয়েছেন, যেগুলো প্রতিটিই 37টির মধ্যে 1-এর বদলে 25টির মধ্যে 1 বার আসে। 17 to 1-এ এদের মাঝের জোড়া বাজিবাজিজোড়া বাজিলাগোয়া দুটি সংখ্যা, প্রদান 17:1।সম্পূর্ণ পড়ুন → ধরবেন, নাকি প্রতিটি সংখ্যায় একক-সংখ্যা বাজি রাখবেন? Kelly কত বলতে বলেন, এবং একটি এমন খোপের তুলনায় তহবিল কত দ্রুত বাড়ে?
সমাধান দেখুন
উত্তর কোনও পার্থক্য নেই: জোড়া বাজিতে তহবিলের 2.59%, অথবা প্রতিটি সংখ্যায় 1.29%। একটি খোপে 11.5 গুণের বদলে 1,000 স্পিনে সাধারণ তহবিল প্রায় 155 গুণ বাড়ে।
জোড়া বাজিটি সম্ভাবনাগণিতসম্ভাবনাকোনো ফলের সুযোগ, 0 থেকে 1 বা 0% থেকে 100%। একটি সংখ্যা: 1/37 = 2.70%।সম্পূর্ণ পড়ুন → 2/25 = 0.08-এ জেতে এবং 17 to 1 দেয়, তাই প্রতি ইউনিটঅর্থইউনিটএকটি সিস্টেম বা খেলোয়াড় যে মূল বাজির অঙ্কে কাজ করেন। প্রগ্রেশন ইউনিটে বর্ণিত হয় যাতে যেকোনো টেবিলে চলে।সম্পূর্ণ পড়ুন → বাজিতে 18 × 0.08 = 1.44 ফেরত দেয়: একটি বিচ্যুত খোপের মতোই 44% এজ। Kelly-র বাজি হলো এজকে অডস দিয়ে ভাগ: 0.44/17 = 2.59%।
প্রতিটি 1.29%-এর দুটি একক-সংখ্যা বাজিতে ফল একেবারে একই। যে সংখ্যাই আসুক, এক চিপঅর্থচিপস্থির অঙ্কের প্রতিনিধিত্বকারী টোকেন, যা বাজি রাখতে বিন্যাসে রাখা হয়। চেক-ও বলা হয়।সম্পূর্ণ পড়ুন → 35 to 1 জেতে এবং অন্যটি হারে; নিট ফল তহবিলের 34 × 1.29% = 44%, জোড়া বাজির প্রদানের মতো; আর কোনওটিই না এলে দুটিই হারায়।
প্রতি স্পিনে বৃদ্ধি 0.00505, একটি খোপের জন্য 0.00244-এর বিপরীতে; তাই 1,000 স্পিনে সাধারণ তহবিল e^5.046 ≈ 155 গুণ, e^2.44 ≈ 11.5 গুণের বদলে। দুটি ভালো সংখ্যা একটির দ্বিগুণের চেয়ে অনেক বেশি মূল্যবান; তাই বিচ্যুতি খেলা খেলোয়াড়েরা সংখ্যার দল ধরে বাজি রাখে। Thorp (1984) একই তুলনা করেছেন।
কমিক বিরতি
বৃদ্ধি-সর্বোত্তম রুলেটের বাজির অঙ্ক এমন একটি সংখ্যা, যা সবাই আগেই জানে।
উৎস
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”