সমস্যা: জন্মদিন চাকা
কত স্পিনের পর কোনো সংখ্যা পুনরাবৃত্তি হয়? অধিকাংশের অনুমানের চেয়ে অনেক কম।
37-খোপেরসরঞ্জামখোপরোটরের 37টি নম্বরযুক্ত ঘরের একটি। খাঁজ বা কাপও বলা হয়।সম্পূর্ণ পড়ুন → চাকায় জন্মদিন সমস্যা: মাত্র 8 স্পিনের পর কোনো সংখ্যা ইতিমধ্যে দুবার আসার সম্ভাবনা অর্ধেকের বেশি। খেলোয়াড়েরা পুনরাবৃত্তিকে প্যাটার্ন পড়েন; ন্যায্য চাকায় এগুলোই প্রত্যাশিত আচরণ।
সমস্যাটি
একটি ন্যায্য ইউরোপীয় চাকা স্পিন করুন। অন্তত দুটি স্পিনে একই সংখ্যা আসার সম্ভাবনাগণিতসম্ভাবনাকোনো ফলের সুযোগ, 0 থেকে 1 বা 0% থেকে 100%। একটি সংখ্যা: 1/37 = 2.70%।সম্পূর্ণ পড়ুন → কখন অর্ধেক ছাড়ায়? অধিকাংশ খেলোয়াড় 37-এর অর্ধেক, 18 বা 19-এর কাছাকাছি অনুমান করেন। উত্তর 8।
সমাধান
পুনরাবৃত্তি না হওয়ার সম্ভাবনা হিসাব করে এক থেকে বিয়োগ করুন। k স্পিনের পর, p(সব ভিন্ন) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37)। k = 8-এর জন্য: 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44, তাই p(কোনো পুনরাবৃত্তি) ≈ 0.56। k = 14-এ তা 0.93; k = 20-এ 0.996। স্বজ্ঞা ব্যর্থ হয় কারণ স্পিন-জোড়ার সংখ্যা k² হিসেবে বাড়ে এবং যেকোনো জোড়া মিলে যেতে পারে।
টেবিলে এটি কেন গুরুত্বপূর্ণ
গত 20টি সংখ্যার ফলাফল বোর্ডে প্রায় সব সময় অন্তত একটি পুনরাবৃত্তি থাকবে, প্রায়ই দুই বা তিনটি। খেলোয়াড়েরা “দশ স্পিনে 17 দুবার এসেছে” দেখে 17-কে গরম মনে করেন; জন্মদিনের হিসাব বলে দশ স্পিনের মধ্যে পুনরাবৃত্তি 74% সময়ে ঘটে, আর পুনরাবৃত্ত সংখ্যাটি দৈব। প্যাটার্নটি বাস্তব; অর্থটি নয়।
পরের সমস্যাটি
একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা, যেমন 17, দুবার আসা পর্যন্ত কত স্পিন? এটি অনেক বড় উত্তরের ভিন্ন প্রশ্ন: প্রত্যাশিত অপেক্ষা 74 স্পিন, আর 20 স্পিনের মধ্যে দুটি 17 আসার সম্ভাবনা প্রায় 10%। “কোনো সংখ্যা পুনরাবৃত্তি” (8 স্পিন) এবং “এই সংখ্যাটি পুনরাবৃত্তি” (74 স্পিন)-এর ফারাকই পরে লক্ষ্য করা প্যাটার্ন ও আগে থেকে করা পূর্বাভাসের পুরো ফারাক।
চেষ্টা করুন
ডেমো গেম দশ স্পিন চালিয়ে ইতিহাস দেখুন। সাধারণত একটি পুনরাবৃত্তি থাকবে। আবার চালান। পুনরাবৃত্ত সংখ্যাটি ভিন্ন হবে। দশবার করুন, আপনি জন্মদিন সমস্যাগণিতজন্মদিনের সমস্যাদুজনের জন্মদিন সম্ভবত এক হওয়ার জন্য কতজন লাগে, অথবা কোনো সংখ্যা সম্ভবত আবার আসার জন্য কত স্পিন লাগে। 37-খোপের চাকায় 8 স্পিনেই সম্ভাবনা অর্ধেকের বেশি।সম্পূর্ণ পড়ুন → দেখেছেন; হাজারবার করুন (সিমুলেটর পারে), আপনি তা মেপেছেন।
সূত্র
প্রশ্ন
হুবহু, 365 দিনের বদলে 37 খোপে। জন্মদিনে 23 জনে 50%; চাকায় 8 স্পিনে 56%।
প্রায় 19 স্পিনের পর 50%। তবু স্বাভাবিক।
না। একটি চাকা থেকে হাজার হাজার স্পিন তা বলত; একটি পুনরাবৃত্তি কখনও বলে না।
গণিতের মজা
আগে এগুলো নিজে করে দেখুন। প্রতিটি সমাধান ভাঁজ করা আছে; প্রস্তুত হলে খুলুন।
আমেরিকান চাকার পাশে থাকা ফলাফল বোর্ডে শেষ 16টি স্পিন দেখা যায়। সেখানে কোনো সংখ্যা দুবার না আসার সম্ভাবনা কত?
সমাধান দেখুন
উত্তর প্রায় 2.5%: 40টির মধ্যে মোটামুটি 39টি বোর্ডে অন্তত একটি পুনরাবৃত্তি দেখা যায়।
স্পিন ধরে এগোন। প্রথম স্পিনে যেকোনো কিছু হতে পারে। দ্বিতীয়টিকে তা এড়াতে হবে: 38টির মধ্যে 37টি সম্ভাবনা। তৃতীয়টিকে দুটিই এড়াতে হবে: 38টির মধ্যে 36টি। ষোড়শটিকে পনেরোটি সংখ্যা এড়াতে হবে: 38টির মধ্যে 23টি।
গুণ করুন: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246।
পুনরাবৃত্তিহীন বোর্ডই বিরল। পুনরাবৃত্তিসহ বোর্ড চাকা সম্পর্কে কিছুই বলে না।
ইউরোপীয় চাকার দশ স্পিনে 17 ঠিক পাঁচবার আসার সম্ভাবনা কত? কোনো একটি সংখ্যা—যেকোনো সংখ্যা—পাঁচ বা তার বেশি বার আসার? আর চার স্পিনে কোনো একটি সংখ্যা অন্তত তিনবার আসার?
সমাধান দেখুন
উত্তর 17 ঠিক পাঁচবার: 3,15,576-এ 1। কোনো একটি সংখ্যা পাঁচ বা তার বেশি বার: প্রায় 8,333-এ 1। চার স্পিনে কোনো একটি সংখ্যা তিন বা তার বেশি বার: 349-এ 1।
17 পাঁচবার: দশটি স্পিনের কোন পাঁচটিতে এটি আসবে তা বেছে নিন, 252টি উপায়ে; প্রতিটির সম্ভাবনা (1/37)⁵ × (36/37)⁵। সব মিলিয়ে 3,15,576-এ 1।
যেকোনো সংখ্যা: 37টি সংখ্যার প্রতিটির পাঁচবার বা তার বেশি আসার সম্ভাবনা 3,08,325-এ 1, ফলে 3,08,325-এ 37, অর্থাৎ 8,333-এ 1। দুটি সংখ্যার প্রত্যেকটির পাঁচবার আসার বিরল ঘটনাটি দুবার গণনা হয়েছে, কিন্তু বাদ দিলেও এই নির্ভুলতায় কিছু বদলায় না।
চারটি স্পিনে তিনবার: একটি সংখ্যার জন্য 37⁴টি সম্ভাব্য ফলের মধ্যে 4 × 36 + 1 = 145টি; 37টির যেকোনো সংখ্যার জন্য 145/37³ = 349-এ 1।
দ্বৈত-শূন্যচাকাজিরোএকক সবুজ খোপ, যা কোনো সমান-অর্থের, ডজন বা কলাম বাজি ঢাকে না; হাউস এজের উৎস। একক জিরো, 0-ও বলা হয়।সম্পূর্ণ পড়ুন → চাকায় সংশ্লিষ্ট অঙ্কগুলো হলো 3,59,275-এ 1, 9,243-এ 1 এবং 368-এ 1। “17” ও “যেকোনো সংখ্যা”-র ব্যবধানটি আবার জন্মদিনের সমস্যাগণিতজন্মদিনের সমস্যাদুজনের জন্মদিন সম্ভবত এক হওয়ার জন্য কতজন লাগে, অথবা কোনো সংখ্যা সম্ভবত আবার আসার জন্য কত স্পিন লাগে। 37-খোপের চাকায় 8 স্পিনেই সম্ভাবনা অর্ধেকের বেশি।সম্পূর্ণ পড়ুন →: বিস্মিত হওয়ার 37টি উপায় আছে।
কমিক বিরতি
কিছু একটা তাড়াতাড়ি পুনরাবৃত্ত হয়। সেটি দৈব।
উৎস
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, রুলেট-সংক্রান্ত প্রশ্ন।